Sturm-liouvilleprobleem

In de wiskundige analyse is een sturm-liouvilleprobleem een naar Charles Sturm en Joseph Liouville genoemde 2e-orde differentiaalvergelijking over het eindige interval $I=[a,b]$ van de vorm:

$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[p(x)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}]+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x)$

met de niet-triviale randvoorwaarden:

${\alpha }_{1}y(a)+{\alpha }_2{y}^{\prime }(a)=0$

${\beta }_{1}y(b)+{\beta }_2{y}^{\prime }(b)=0$

Hierin zijn de functies $p,p^{\prime },q$ en $w$ continu en reëelwaardig, met $p(x)>0$ en $w(x)>0$.

Het probleem kan geformuleerd worden met behulp van de lineaire differentiaaloperator

$L=\frac{1}{w}(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}p\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+q)$

en heeft dan de vorm van het eigenwaardeprobleem:

$Ly=\lambda y$

Er is altijd de triviale oplossing $y(x)=0$, maar voor sommige waarden van $\lambda$ bestaan er niet-nul oplossingen. Dit zijn de zogenaamde eigenwaarden ${\lambda }_n$ met bijhorende eigenfuncties $y_n(x)$.

De hoofdresultaten van de Sturm-Liouvilletheorie zijn:

• De eigenwaarden ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$ zijn reëel en kunnen geordend worden om een strikt stijgende rij te vormen:

${\lambda }_1<{\lambda }_2<\dots <{\lambda }_n<\dots$

met limiet

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_n=+\mathrm{\infty }$

• De bij ${\lambda }_n$ horende eigenfunctie $y_n(x)$ is uniek op een constante niet-nulfactor na, en heeft exact $n-1$ nulpunten in het interval $(a,b)$.

• De eigenfuncties $y_n(x)$ vormen na normeren een orthogonale basis voor de gewichtsfunctie $w(x)$ over $[a,b]$

$⟨y_n,y_m⟩=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{y}_n(x)y_m(x)w(x)\mathrm{d}x={\delta }_{mn}$

Sturm-Liouvilleproblemen hebben praktisch nut, omdat ze veel voorkomen in de wiskundige natuurkunde, bijvoorbeeld in elektromagnetisme, kwantummechanica en akoestiek.