Stelling van Zsigmondy

De stelling van Zsigmondy is een stelling uit de getaltheorie, gepubliceerd door de Oostenrijks-Hongaarse wiskundige Karl Zsigmondy (1867-1925) in 1892.

De stelling kan als volgt worden geformuleerd:

Als $a$ en $m$ gehele getallen zijn groter dan 1, bestaat er steeds een priemgetal $p$ dat een deler is van $a^m-2$ maar geen deler is van $a^i-2$ voor $i=1,\dots ,m-1$, met uitzondering van deze gevallen:

als $a=2$ en $m=6$, of

als $m=2$ en $a+1$ is een macht van 2.

Men noemt een dergelijke priemfactor een (priem)getal van Zsigmondy.

Deze stelling wordt gebruikt in de theorie van eindige groepen.

De stelling kan gegeneraliseerd worden:

Als $a>b$ twee gehele getallen groter dan 1 zijn die onderling relatief priem zijn, en $m$ is een geheel getal groter dan 1, dan bestaat er steeds een priemgetal $p$ dat een deler is van $a^m-b^m$, maar geen deler is van $a^i-b^i$ voor $i=1,\dots ,m-1$, met uitzondering van deze gevallen:

$a=2,b=1$ en $m=6$, of

$a+b$ is een macht van twee en $m=2$.

Als $b=1$ krijgt men de eerste vorm van de stelling.

Voorbeelden

• Als $a=2$ (en $b=1$) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor $m=1,2,3,\dots$ gegeven door de rij:

1, 3, 7, 5, 31, 1, 127, 17, 73, 11, 2047, 13, 8191, 43, ...

(voor $m=1$ en 6 is er dus geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de eerste uitzondering op de stelling)

• Als $a=3$ (en $b=1$) worden de grootste priemgetallen van Zsigmondy voor $m=1,2,3,\dots$ gegeven door de rij:

2, 1, 13, 5, 121, 7, 1093, 41, 757, 61, 88573, 73, 797161, ...

(voor $m=2$ is er geen priemgetal van Zsigmondy vanwege de tweede uitzondering op de stelling)