Stelling van Cochran

De stelling van Cochran is in de statistiek een stelling die voornamelijk toegepast wordt in de variantie-analyse. De stelling is geformuleerd door de Schotse wiskundige William Gemmell Cochran.

In de variantie-analyse wordt veelvuldig een som van kwadraten uiteengelegd in andere kwadraatsommen zoals in het volgende voorbeeld. Stel X₁, ..., X_n is een aselecte steekproef uit een normale verdeling met verwachtingswaarde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$. Dan kan geschreven worden:

$\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}+\overline{X}-\mu {)}^2=$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2+\sum _{i=1}^n(\overline{X}-\mu {)}^2+2\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})(\overline{X}-\mu )=$

$=\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2+\sum _{i=1}^n(\overline{X}-\mu {)}^2$

Deelt men beide leden door ${\sigma }^2$ dan ontstaat:

$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }\right)}^2+n{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2,$

een uitdrukking waarvan het linkerlid bestaat uit de som van kwadraten van standaardnormaal verdeelde toevalsvariabelen, en het rechterlid bestaat uit twee termen waarvan elk de som van kwadraten is van lineaire combinaties van de toevalsvariabelen uit het linkerlid.

De stelling van Cochran gaat over zulke uitdrukkingen.

Stelling

Zij Z₁, ..., Z_n onderling onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde toevalsvariabelen en

$\sum _{i=1}^n{Z}_i^2=Q_1+\cdots +Q_k$,

waarin elke Q_i de som is van kwadraten van lineaire combinaties van de Z 's, waarvoor geldt dat de som van de rangen van de Q 's gelijk is aan n. D.w.z. als r_i de rang is van Q_i, wordt verondersteld dat:

$r_1+\cdots +r_k=n$.

De stelling van Cochran zegt nu dat Q₁, ..., Q_k onderling onafhankelijk zijn en elke Q_i chi-kwadraatverdeeld is met r_i vrijheidsgraden.

NB. De kwadraatsom Q_i kan geschreven worden als de kwadratische vorm:

$Q_i=Z^T{A}_{i}Z$,

waarin $Z$ de vector is van de Z 's en A een n×n-matrix is. De rang van Q_i is de rang van de matrix A_i

Alternatieve formulering

Zij Z₁, ..., Z_n onderling onafhankelijke, standaardnormaal verdeelde toevalsvariabelen en A₁, ..., A_k symmetrische n×n-matrices waarvoor geldt:

$A_1+\cdots +A_k=I_n$.

Noem $r_i=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A_i)$, dan impliceert elk van de volgende uitspraken de overige twee.

• $r_1+\cdots +r_k=n$
• $\frac{1}{{\sigma }^2}{Z}^T{A}_{i}Z$ is chi-kwadraatverdeeld met $r_i$ vrijheidsgraden ($A_i$ is dus positief semidefiniet)
• $Z^T{A}_{i}Z$ en $Z^T{A}_{j}Z$ zijn onderling onafhankelijk voor $i\ne j$

Voorbeeld

In het voorbeeld hierboven is de rang van

$Q_1=n{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2=Z^T{A}_{1}Z$

gelijk aan 1, en de rang van

$Q_2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\overline{X}}{\sigma }\right)}^2=Z^T{A}_{2}Z$

gelijk aan $n-1$ zodat aan de voorwaarden van de stelling voldaan is. In deze uitdrukkingen is:

$Z_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$,

$A_1=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \cdots & \frac{1}{n}\\ \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \cdots & \frac{1}{n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{1}{n}& \frac{1}{n}& \cdots & \frac{1}{n}\end{array}\right]$

en

$A_2=I_n-A_1$

Volgens de stelling zijn beide uitdrukkingen dus onderling onafhankelijk en elk chi-kwadraatverdeeld, met respectievelijk 1 en $n-1$ vrijheidsgraden. Dit betekent onder meer dat voor een aselecte steekproef uit een normale verdeling, het steekproefgemiddelde en de steekproefvariantie onderling onafhankelijk zijn.