Simplex (wiskunde)

Een simplex of n-simplex is in de wiskunde een $n$-dimensionaal analogon van de driehoek. Preciezer is een simplex het convexe omhulsel van $n+1$ onafhankelijke punten in een vectorruimte, dat wil zeggen dat geen $m+2$ van de punten in een $m$-dimensionale deelruimte liggen.

In het bijzonder is

• een 0-simplex een punt,
• een 1-simplex een lijnstuk,
• een 2-simplex een driehoek,
• een 3-simplex een viervlak,

in alle gevallen met hun inwendige. De naam zou gebaseerd zijn op het feit dat het het simpelste onderdeel van een d-dimensionale ruimte is.

Regelmatige simplex

Een simplex heet regelmatig als de afstand tussen twee van de $n+1$ punten telkens gelijk is. Als deze afstand telkens 1 is, is de inhoud van het regelmatig simplex

$\frac{\sqrt{n+1}}{n!\sqrt{2^n}}.$

De standaard simplex

De standaard 2-simplex in ${ℝ}^3$.

Een $n$-simplex is een $n$-dimensionaal object. Het kan gelegen zijn in de ${ℝ}^n$ maar ook in een willekeurige hogerdimensionale ruimte ${ℝ}^q$ met $q>n$.

Een meer symmetrische vorm wordt verkregen als het simplex met de eenheidsvectoren als hoekpunten. Dit simplex wordt het standaard $n$-simplex genoemd en is de deelverzameling ${\mathrm{\Delta }}^n$ van ${ℝ}^{n+1}$ gegeven door

${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\cdots ,t_n)\in {ℝ}^{n+1}\mid {\mathrm{\Sigma }}_i{t}_i=1\text{ en }{t}_i\ge 0\text{ voor alle }i\}.$

Het simplex ${\mathrm{\Delta }}^n$ ligt in het affiene hypervlak dat verkregen wordt door de voorwaarde $t_i\ge 0$ in bovenstaande definitie weg te laten. Het standaard $n$-simplex is een regelmatige polytoop met standaard $(n-1)$-simplexen als zijden.

De hoekpunten van het standaard $n$-simplex zijn de punten

$e_0=(1,0,0,\dots ,0,0)$

$e_1=(0,1,0,\dots ,0,0)$

$\dots$

$e_n=(0,0,0,\dots ,0,1)$.

Er is een kanonieke afbeelding van de standaard $n$-simplex naar een willekeurige $n$-simplex met hoekpunten $(v_0,v_1,\dots ,v_n)$ gegeven door

$(t_0,t_1,\dots ,t_n)\mapsto \sum _i{t}_i{v}_i.$

De coëfficiënten $t_i$ worden de (genormaliseerde) barycentrische coördinaten van een punt in de $n$-simplex genoemd.

Zie ook

• Simplexmethode
• Nelder-Mead-methode