Pseudo-euclidische ruimte

Een pseudo-euclidische ruimte is een eindige-dimensionale reële vectorruimte samen met een niet-gedegenereerde, niet-definiete kwadratische vorm. Zo'n kwadratische vorm kan, na een verandering in coördinaten, geschreven worden als

$q(x)=(x_1^2+\cdots +x_k^2)-(x_{k+1}^2+\cdots +x_n^2)$

waarin $x=(x_1,\dots ,x_n)$, het getal $n$ de dimensie van de ruimte is, en $1\le k<n$.

Een zeer belangrijke pseudo-euclidische ruimte is de minkowski-ruimte, het wiskundige kader, waarin Albert Einsteins speciale relativiteitstheorie het meest natuurlijk in wordt geformuleerd. Voor een minkowski-ruimte geldt dat $n=4$ en $k=3$. Voor echte euclidische ruimten geldt dat $k=n$, zodat de kwadratische vorm dus positief-definiet en niet indefiniet is.

Een andere pseudo-euclidische ruimte is het vlak $z=x+yj$, dat bestaat uit de split-complexe getallen, uitgerust met de kwadratische vorm

$\Vert z\Vert =z{z}^{*}=z^{*}z=x^2-y^2$.

In een pseudo-euclidische ruimte wordt de grootte van een vector $x=(x_1,\dots ,x_n)$ gedefinieerd als $q(x)$. Anders dan in een euclidische ruimte, zijn er in een pseudo-euclidische ruimte vectoren ongelijk aan de nulvector maar met grootte nul, en ook vectoren met negatieve grootte.

Geassocieerd met de kwadratische vorm $q$ is het pseudo-euclidische inwendig product

$⟨x,y⟩=(x_1{y}_1+\dots +x_k{y}_k)-(x_{k+1}{y}_{k+1}+\dots +x_n{y}_n).$

Deze bilineaire vorm is symmetrisch, maar niet positief-definiet, zodat het geen "echt" inwendig product is.

Een interessante eigenschap van de pseudo-euclidische ruimte is dat er in deze ruimte niet alleen een eenheidsbol $\{x|q(x)=1\}$ is, maar ook een tegenbol $\{x|q(x)=-1\}$. Deze hyperoppervlakken zijn in werkelijkheid gegeneraliseerde hyperboloïden.

Zie ook

• Pseudo-riemann-variëteit

Referenties

• Sjabloon:En Sjabloon:Cite book
• Sjabloon:En Sjabloon:Cite book