Pierce-expansie

De Pierce-expansie of Pierce-ontwikkeling van een reëel getal $x$ in het interval $(0,1)$ is de unieke, stijgende rij van positieve gehele getallen $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ waarvoor geldt:

$x=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}-\dots$

met afwisselend positieve en negatieve termen. Ze is genoemd naar de wiskundige T.A. Pierce van de universiteit van Nebraska, die ze in 1929 formuleerde.

Een Pierce-expansie van een getal is eindig dan en slechts dan als dat getal een rationaal getal is. Irrationale getallen hebben een oneindige Pierce-expansie.

Elke eindige of oneindige rij van stijgende positieve getallen $(a_i)$ is de Pierce-expansie van een reëel getal tussen 0 en 1.

Als de expansie wordt afgebroken bij de $n$-de term is de fout ten hoogste gelijk aan de absolute waarde van de $(n+1)$-de term en dus zeker kleiner dan de absolute waarde van de $n$-de term.

De som van de oneven en van de even termen in de Pierce-expansie is respectievelijk een bovengrens en een ondergrens van het getal $x.$

Berekening

De Pierce-expansie kan men berekenen met het onderstaande algoritme:

• Stel $u_0=x$
• Bereken voor $k=1,2,3,\dots$:
  • $a_k=\lfloor \frac{1}{u_{k-1}}\rfloor$
  • $u_k=1-a_k{u}_{k-1}$
• Stop zodra $u_k=0$

Daarrin is $\lfloor a\rfloor$ de entier van $a$.

Voorbeeld

De Pierce-expansie van $0,37$ geeft achtereenvolgens:

$u_0=0,37$

$a_1=\lfloor \frac{1}{0,37}\rfloor =2$

$u_1=1-a_1{u}_0=1-2\cdot 0,37=0,26$

$a_2=\lfloor \frac{1}{0,26}\rfloor =3$

$u_2=1-a_2{u}_1=1-3\cdot 0,26=0,22$

$a_3=\lfloor \frac{1}{0,22}\rfloor =4$

$u_3=1-a_3{u}_2=1-4\cdot 0,22=0,12$

$a_4=\lfloor \frac{1}{0,12}\rfloor =8$

$u_4=1-a_4{u}_3=1-8\cdot 0,12=0,04$

$a_5=\lfloor \frac{1}{0,04}\rfloor =25$

$u_5=1-a_5{u}_4=1-25\cdot 0,04=0$

De Pierce-expansie van 0,37 is dus (2, 3, 4, 8, 25), en inderdaad is:

$0,37=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}-\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 8\cdot 25}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{1}{192}+\frac{1}{4800}$

Voorbeelden

$\frac{1}{\pi }=(3,22,118,383,571,635,70529,375687,399380,575584,\dots )$ - Sjabloon:Link OEIS

$\frac{1}{\sqrt{2}}=(1,3,8,33,35,39201,39203,60245508192801,60245508192803,218662352649181293830957829984632156775201,\dots )$ - Sjabloon:Link OEIS

$\ln (2)=(1,3,12,21,51,57,73,85,96,1388,\dots )$ - Sjabloon:Link OEIS

$\frac{1}{e}=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,\dots )$ - Sjabloon:Link OEIS

De Pierce-expansie van $1/e$ is dus de reeks van natuurlijke getallen vanaf 2; en die van

$1-e^{-1}=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,\dots )$ - de natuurlijke getallen.

Dit is de Pierce-expansie waarvan de termen het langzaamst kleiner worden. In het algemeen stijgen de getallen in een Pierce-expansie min of meer exponentieel.

Lengte van de Pierce-expansie

Het aantal elementen van de eindige Pierce-expansie van een rationaal getal $b/a,\text{ met }(b<a)$ is de lengte van de expansie, genoteerd als $P(a,b)$. $P(a)$ is de grootste lengte van de Pierce-expansies van alle rationale getallen $b/a$ met $b=1,\dots ,a$:

$P(a)=\max \{P(a,b)\mid 1\le b\le a\}$

Verscheidene wiskundigen hielden zich bezig met de studie van de lengte van Pierce-expansies en van de verwante Engel-expansies, in het bijzonder met het bepalen van zo goed mogelijke boven- en ondergrenzen voor $P(a)$.

Shallit bewees dat $2\sqrt{a}$ een bovengrens is van $P(a)$.

Paul Erdős en Shallit gaven in 1991 een verbeterde asymptotische bovengrens, in grote-O-notatie:

$P(a)=O(a^{\frac{1}{3}+\delta })$

waarin $\delta$ een willekeurig klein positief reëel getal is.

Vlado Kešelj leidde in 1996 een nog betere bovengrens af:

$P(a)=O((a\cdot \log (a){)}^{\frac{1}{3}})$

Voor de asymptotische ondergrens van $P(a)$ vond hij:

$P(a)=O\left(\frac{\log (a)}{\log (\log (a))}\right)$

Hierin is $\log$ de natuurlijke logaritme. Uit computerberekeningen bleek dat de bovengrens voor grote $a$ nog steeds een ruime overschatting is.

Zie ook

• Engel-expansie, analoog aan de Pierce-expansie maar met enkel positieve termen.

Externe link

• Wolfram MathWorld: Pierce Expansion