Engel-expansie

De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal $x$ is de niet-dalende rij positieve gehele getallen $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ waarvoor

$x=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1{a}_2}+\frac{1}{a_1{a}_2{a}_3}+\dots =\frac{1}{a_1}(1+\frac{1}{a_2}(1+\frac{1}{a_3}(1+\dots )))$

en

$1\le a_1\le a_2\le a_3\le \dots$

De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.

Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.

Berekening

Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.

Voor $0<x<1$ wordt $a_1$ bepaald door de eis dat:

$\frac{1}{a_1}\le x<\frac{1}{a_1-1}$,

wat betekent dat:

$a_1=\lceil \frac{1}{x}\rceil$

Het volgende getal $a_2$ volgt analoog uit de eis:

$\frac{1}{a_2}\le a_{1}x-1<\frac{1}{a_2-1}$

Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.

De engel-expansie van een gegeven getal $x$ kan men als volgt berekenen:

• Neem $u_1=x$;
• bereken iteratief voor $k=1,2,3,\dots$

$a_k=\lceil \frac{1}{u_k}\rceil$ en

$u_{k+1}=u_k{a}_k-1$

Hierin is $\lceil r\rceil$ de ceiling van $r$.

• Het algoritme eindgt als $u_i$ gelijk wordt aan 0.

Berekeningsvoorbeeld

De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:

$u_1=1,3$

$a_1=\lceil \frac{1}{1,3}\rceil =1$

$u_2=u_1{a}_1-1=1,3\cdot 1-1=0,3$

$a_2=\lceil \frac{1}{0,3}\rceil =4$

$u_3=u_2{a}_2-1=0,3\cdot 4-1=0,2$

$a_3=\lceil \frac{1}{0,2}\rceil =5$

$u_4=u_3{a}_3-1=0,2\cdot 5-1=0$

Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:

$1,3=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{1\cdot 4\cdot 5}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}$

Engel-ontwikkeling voor rationale getallen

Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term $u_{i+1}$ als volgt. Als $u_i=a/b$, dan is $u_{i+1}=(-bmoda)/b$. De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.

Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie

$\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^k}$

kan het laatst bepaalde getal $n$ in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen $n+1$.

Zo is bijvoorbeeld

$1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}$

Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.

Voorbeelden

De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:

$\pi =\{1,1,1,8,8,17,19,300,1991,2492,\dots \}$ - Sjabloon:Link OEIS

$\sqrt{2}=\{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144,\dots \}$ - Sjabloon:Link OEIS

$e=\{1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,\dots \}$ - Sjabloon:Link OEIS

De engel-expansie van het getal $e$ is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:

$e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}$

Zie ook

• Pierce-expansie, analoog aan de engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
• Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.

Externe links

• Wolfram MathWorld: Engel expansion