Ongelijkheid van Jensen

De ongelijkheid van Jensen is een stelling uit de kansrekening, genoemd naar de Deense wiskundige Johan Jensen.

Als $X$ een integreerbare reële stochastische variabele is met waarden in het open interval $(a,b)$, en $f$ is een convexe reële functie op $(a,b)$, dan geldt

$f(\mathrm{E}(X))\le \mathrm{E}(f(X))$

waarin $\mathrm{E}$ de verwachtingswaarde aangeeft.

Hierbij kan het rechterlid van de ongelijkheid eventueel oneindig zijn. De ongelijkheid blijft gelden als $(a,b)$ een halve rechte of de hele reële as is ($a=-\mathrm{\infty }$ en/of $b=+\mathrm{\infty }$).

Voorbeelden van toepassing

De absolute waarde is een convexe functie, dus

$|\mathrm{E}X|\le \mathrm{E}|X|$

Algemener is voor $r\ge 1$ de functie $x\mapsto |x{|}^r$ convex, dus als $0<p\le q$ en $f\in L^q$, geldt

${(\mathrm{E}(|X{|}^p))}^{\frac{1}{p}}\le {(\mathrm{E}(|X{|}^q))}^{\frac{1}{q}}$

Pas de ongelijkheid van Jensen toe op de stochastische variabele $|X{|}^p$ en de convexe functie $x\mapsto |x{|}^{q/p}$.

Hieruit volgt dat in het bijzonder geval van een kansmaat, de Lp-ruimten een dalende ketting van verzamelingen vormen:

$\dots \supset L^p\supset L^q\supset \dots \supset L^{\mathrm{\infty }}$