Ongelijkheid van Bessel

In de wiskunde, in het bijzonder in de functionaalanalyse, is de ongelijkheid van Bessel een ongelijkheid die aangeeft dat van een vector in een hilbertruimte de som van de kwadraten van een aantal orthogonale componenten ten hoogste gelijk is aan het kwadraat van de lengte van die vector. Betreft het alle orthogonale componenten, dan gaat de ongelijkheid over in een gelijkheid, die bekendstaat als de gelijkheid van Parseval, het meerdimensionale analogon van de stelling van Pythagoras. De ongelijkheid is in 1828 opgesteld door Friedrich Wilhelm Bessel

Ongelijkheid

Laat $e_1,e_2,\dots$ een orthogonale rij in de hilbertruimte $H$ zijn. Dan geldt voor elke $x\in H$:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|(x,e_k){|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$,

waarin $(\cdot ,\cdot )$ het inproduct in $H$ voorstelt.

De ongelijkheid houdt ook in dat de reeks

$x^{\prime }=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(x,e_k)e_k$,

die bestaat uit de componenten van $x$ langs de verschillende $e_k$, convergent is.

Als de rij $e_1,e_2,\dots$ volledig is, dus een basis van $H$ vormt, gaat de ongelijkheid over in de gelijkheid van Parseval.

Bewijs

Het bewijs komt erop neer, dat voor iedere $n\in \mathbb{N}$ de component

$x_n=\sum _{k=1}^n(x,e_k)e_k$

langs de eerste $n$ van de vectoren $e_k$ vanwege de orthonormaliteit loodrecht staat op de rest:

$(x-x_n,x_n)=(x,x_n)-(x_n,x_n)=$

$=\sum _{k=1}^n|(x,e_k){|}^2-\sum _{k=1}^n\sum _{m=1}^n(x,e_k)(x,e_m)(e_k,e_m)=0$

Dus is voor iedere $n$:

$\Vert x{\Vert }^2=\Vert x-x_n{\Vert }^2+\Vert x_n{\Vert }^2\ge \Vert x_n{\Vert }^2=\sum _{k=1}^n|(x,e_k){|}^2$

Zie ook

• Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

Referenties

• Sjabloon:Bronvermelding anderstalige Wikipedia

Website

• Bessel's Inequality: artikel over de ongelijkheid van Bessel bij MathWorld.