Liouville-functie

De Liouville-functie, aangeduid met $\lambda (n)$ en genoemd naar de Franse wiskundige Joseph Liouville, is een functie in de getaltheorie die verband houdt met het aantal priemdelers van het positieve natuurlijke getal $n$.

Definitie

Laat $n$ een positief natuurlijk getal zijn en $\mathrm{\Omega }(n)$ het aantal priemfactoren van $n$, dan is de Liouville-functie gedefinieerd door:

$\lambda (1)=1$

en voor $n>1$

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

Het aantal priemfactoren $\mathrm{\Omega }(n)$ van $n$ kan afgelezen uit de (rij).

Meervoudige factoren worden in $\mathrm{\Omega }(n)$ ook meervoudig geteld; bijvoorbeeld is $\mathrm{\Omega }(12)=3$, want 12 = 2×2x3 en de priemdeler 2 wordt tweemaal geteld. Dus is $\lambda (12)=(-1{)}^3=-1$. Voor $n=13$ geldt $\mathrm{\Omega }(13)=1$ omdat 13 een priemgetal is, en dus is ook $\lambda (13)=-1$, zoals voor alle priemgetallen.

De Liouville-functie neemt slechts de waarden +1 en -1 aan, afhankelijk ervan of het argument een even of een oneven aantal priemdelers (meervoudig geteld) heeft.

Verband met de Riemann-zèta-functie

De Riemann-zèta-functie $\zeta (s)$, waarin $s$ een complex getal is met reëel deel > 1, wordt gedefinieerd als:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ priem}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

Hieruit volgt de volgende gelijkheid:

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\prod _{p\text{ priem}}\frac{1}{1+p^{-s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}$

Sommering

Grafiek van $L(n)$ tot 10⁷. In dit gebied is het vermoeden van Pólya nog geldig.

Stel: $L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k)$. Dit is dus de som van de waarden van de Liouville-functie van 1 tot en met $n$.

$L(n)$ geeft het verschil aan tussen het aantal getallen van 1 tot en met $n$ met een even aantal priemdelers en het aantal met een oneven aantal priemdelers.

George Pólya formuleerde in 1919 het vermoeden, dat $L(n)\le 0$ voor alle $n\ge 2$. Dit vermoeden is later echter ontkracht; C.B. Haselgrove bewees in 1958 dat er oneindig veel gehele getallen $x$ zijn waarvoor $L(x)>0$ is. Het kleinste getal waarvoor het vermoeden van Pólya niet geldt, blijkt 906150257 te zijn.

L kan zeer grote negatieve en positieve waarden aannemen; zo berekenden Borwein, Ferguson en Mossinghoff met een computercluster van dual-core PowerMac G5s dat L(176064978093269) = −17555181 en L(351753358289465)=1160327. Het is echter nog een open vraag, of $L(n)$ al dan niet een oneindig aantal malen van teken verandert.

Een verwante som is

$M(n)=\sum _{k=1}^n\frac{\lambda (k)}{k}$.

Hiervan werd aanvankelijk vermoed, dat $M(n)$ vanaf een voldoend grote $n$, steeds positief is. Als dat waar zou zijn, zou hieruit de Riemann-hypothese volgen. Maar in 1958 bewees Haselgrove, dat er oneindig veel getallen zijn waarvoor $M(n)$ negatief is.