Lineair omhulsel

In de lineaire algebra is het lineair omhulsel of lineair opspansel van een deelverzameling $W$ van een vectorruimte $V$, de doorsnede van alle lineaire deelruimtes van $V$ die $W$ omvatten. Het lineair omhulsel is zelf ook een lineaire deelruimte. Het is de verzameling van alle eindige lineaire combinaties van de vectoren uit $W$.

Men noteert het lineair omhulsel van $W$ als $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(W)$ afgeleid van de Engelse benaming linear span of ook als $\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(W)$. De vectoren in $W$ worden de opspannende vectoren genoemd en men zegt ook dat het lineair omhulsel door deze vectoren wordt voortgebracht.

Definitie

Het lineair omhulsel $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(W)$ van een deelverzameling $W$ van een vectorruimte $V$ is de kleinste deelruimte van $V$ die $W$ omvat, dus voor alle lineaire deelruimten $D\subseteq V$ geldt:

$W\subseteq D\iff \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(W)\subseteq D$

Lineair omhulsel van een eindige verzameling vectoren

Zij $V$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) $K$, dan is het lineair omhulsel van de vectoren $v_1,\dots ,v_n$ in $V$, de deelruimte

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(v_1,\dots ,v_n)=\{a_1{v}_1+\dots +a_n{v}_n:a_1,\dots ,a_n\in K\}$

Men noteert het lineair omhulsel van de vectoren $v_1,\dots ,v_n$ als $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(v_1,\dots ,v_n).$ Andere notaties zijn $⟨v_1,\dots ,v_n⟩$ en $[v_1,\dots ,v_n].$

Lineair omhulsel van een oneindige verzameling vectoren

Zij $V$ een vectorruimte over een lichaam (in België: veld) $K$, dan is het lineair omhulsel van $W\subset V$, de deelruimte die bestaat uit de eindige lineaire combinaties van deze vectoren.

$\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(W)=\{a_1{w}_1+\dots +a_n{w}_n:n\in \mathbb{N},w_1,\dots ,w_n\in W,a_1,\dots ,a_n\in K\}.$

Bijzondere gevallen

In het bijzonder geldt:

• $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(\varnothing )=\{0\}$
• een basis van een vectorruimte heeft als lineair omhulsel de vectorruimte zelf

Verdere eigenschappen

Als een stelsel vectoren $S$ onafhankelijk is, dan is $S$ een basis van de voortgebrachte deelruimte $U.$

Meer algemeen geldt: als de vectorruimte $U$ wordt voortgebracht door het stelsel $S,$ dan bevat $S$ een basis van $U.$

De ruimte $U$ blijft het lineair omhulsel van $S$

• als men aan $S$ een vector uit $U$ toevoegt.
• als men een vector uit $S$, welke een lineaire combinatie is van de overige vectoren uit $S$, verplaatst naar $U$ \ $S$.
• als men in $S$ een vector vermenigvuldigt met een van nul verschillend getal (scalair).
• als men bij een vector uit $S$, een andere vector uit $S$ optelt.