Liénard-vergelijking

Een Liénard-vergelijking is, in de wiskunde, en meer specifiek, in de studie van dynamische systemen en differentiaalvergelijkingen, een bepaald type differentiaalvergelijking, genoemd naar de Franse natuurkundige Alfred-Marie Liénard (1869–1958).

Gedurende de periode waarin de elektronenbuis werd ontwikkeld, werden Liénard-vergelijkingen intensief bestudeerd, als modellen voor elektronische oscillatoren. Onder bepaalde voorwaarden geeft de stelling van Liénard de garantie dat er voor zo'n systeem een limietcyclus bestaat.

Definitie

Indien $f$ en $g$ twee continu-differentieerbare functies zijn in $ℝ$, waarbij $g$ een oneven functie is, en $f$ een even functie, dan wordt een tweede-orde gewone differentiaalvergelijking van de vorm

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+g(x)=0$

een Liénard-vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden omgezet in een gelijkwaardig stelsel van twee gewone differentiaalvergelijkingen. Definieer

$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )\mathrm{d}\xi ,x_1=x\text{en}{x}_2=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F(x)$

Dan wordt

$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=𝒉(x_1,x_2)=\left[\begin{array}{c}{x}_2-F(x_1)\\ -g(x_1)\end{array}\right]$

een Liénard-systeem genoemd.

Voorbeeld

De Van der Pol-oscillator:

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+x=0$

is een Liénard-vergelijking, met

$f(x)=-\mu (1-x^2),g(x)=x,\text{en}F(x)=-\mu (x-\frac{1}{3}{x}^3)$

De stelling van Liénard

Een Liénard-systeem heeft een unieke en stabiele limietcyclus, die de oorsprong omcirkelt, indien het systeem aan de volgende additionele voorwaarden voldoet:

• $g(x)>0$ voor alle $x>0$;
• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi =\mathrm{\infty }$ en
• $F(x)$ heeft exact een positief nulpunt met de waarde $p$, waarbij $F(x)<0$ voor $0<x<p$, terwijl $F(x)$ monotoon en positief, $F(x)>0$, is voor $x>p$.

Toepassingen

In 2008 is aangetoond dat het Liénard-systeem de werking beschrijft van een opto-elektronisch circuit dat gebruik maakt van een resonante tunneldiode om een laserdiode aan te sturen. Dit resulteert in een opto-elektronische voltage-gecontroleerde oscillator.