Lagrange-polynoom

Lagrange-polynomen worden in de numerieke wiskunde gebruikt om van een onbekende functie waarvan maar in een eindig aantal punten $x_0,x_1,\dots ,x_n$ de functiewaarde bekend is, de waarde in tussengelegen punten kan worden geïnterpoleerd. Hierbij wordt een lineaire combinatie van polynomen gebruikt, de lagrange-polynomen. Deze polynomen horen bij de punten $x_i$, en wel zo dat het $i$-de polynoom ${\ell }_i$ de waarde 1 heeft in het punt $x_i$ en de waarde 0 in de overige punten. De coëfficiënten van de lineaire combinatie zijn dan juist de bekende functiewaarden in de betreffende punten. De functiewaarde van de lineaire combinatie in een tussengelegen punt $x$, is een benadering van de onbekende functiewaarde in $x$.

De lagrange-polynomen zijn naar Joseph-Louis Lagrange genoemd, maar werden voor het eerst in 1779 door Edward Waring beschreven en in 1783 door Leonhard Euler herontdekt.

Definitie

De lagrange-polynomen, die bij de $n+1$ punten $x_0,x_1,\dots ,x_n$ horen, zijn de $n+1$ polynomen ${\ell }_i$ van de graad $n$, gedefinieerd door

${\ell }_i(x)=\prod _{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$

Eigenschappen

Voor het lagrange-polynoom ${\ell }_i$ geldt:

${\ell }_i(x_i)=1$

en

${\ell }_i(x_k)=0,\text{voor }k\ne i$.

Het lagrange-polynoom ${\ell }_i$ is het unieke $n$-de-graadspolynoom dat aan de bovenstaande eigenschap voldoet, dat wil zeggen

${\ell }_i(x)=\sum _{k=0}^n{\lambda }_{jk}{x}^k$

is de unieke oplossing van het stelsel van lineaire vergelijkingen

$\sum _{k=0}^n{\lambda }_{jk}{x}_i^k={\delta }_{ij}$

waarbij ${\delta }_{ij}$ het symbool is voor de kroneckerdelta.

Toepassing

Als van de functie $f$ de functiewaarde in de $n+1$ punten $x_0,x_1,\dots ,x_n$ bekend is, kan $f$ door het $n$-de-graadspolynoom

$L(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_i){\ell }_i(x)$

worden benaderd.