Lévyverdeling

In de kansrekening en de statistiek vormen de lévyverdelingen (genoemd naar de Franse wiskundige Paul Lévy) een familie van kansverdelingen met een oneindige verwachtingswaarde.

Definitie

Kansdichtheden van lévyverdelingen met μ=0 en verschillende schaal

De lévyverdeling met parameters $\mu \in ℝ$ en $\gamma >0$, is een kansverdeling waarvan de kansdichtheid voor $x>\mu$ gegeven wordt door:

$f(x)=\sqrt{\frac{\gamma }{2\pi }}\cdot \frac{1}{(x-\mu {)}^{3/2}}\cdot \exp (-\frac{\gamma }{2(x-\mu )})$.

De parameter $\mu$ is een plaatsparameter en de parameter $\gamma$ een schaalparameter.

Verdelingsfunctie

De verdelingsfunctie van de lévyverdeling met parameters $\mu$ en $\gamma$ heeft voor $x>\mu$ de vorm:

$F(x)=\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{\gamma }{2(x-\mu )}}\right),$

waarin $\text{erfc}(z)$ de complementaire errorfunctie is.

Standaard-lévyverdeling

De lévyverdeling met parameters $\mu =0$ en $\gamma =1,$ heet de standaard-lévyverdeling. Daarvan is dus de kansdichtheid:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot x^3}}\cdot e^{-\frac{1}{2x}},x>0$.

Eigenschappen

De standaard-lévyverdeling behoort, net als de normale verdeling en de cauchyverdeling, tot de familie van de alfa-stabiele verdelingen. Dat houdt in dat de verdeling voldoet aan de voorwaarde dat voor onderling onafhankelijke standaard-lévyverdeelde vaiabelen $X_1,X_2,\dots ,X_n,X$ en zekere $\alpha$ geldt:

$X_1+X_2+\dots +X_n\sim n^{1/\alpha }X$,

(in dit geval is $\alpha =1/2$).

Als $X$ een lévyverdeling heeft met parameters $\mu$ en $\gamma$ is de gestandaardiseerde vorm $\frac{X-\mu }{\gamma }$ standaard-lévyverdeeld.

Momenten

De lévyverdeling heeft geen eindige verwachtingswaarde en variantie, want $\mathrm{E}|X|=\mathrm{\infty }$. Daarmee behoort de lévyverdeling tot de verdelingen met zogenaamde 'zware staarten', die vooral toegepast worden om extreme gebeurtenissen, zoals een beurscrash, te modelleren.

Toepassing

Met de lévyverdeling laten zich verscheidene verschijnselen, in het bijzonder in de natuur, beschrijven, zoals:

• Brownse beweging
• Verloop van de beurskoersen
• Ompoling van het aardmagneetveld