Errorfunctie

Grafiek van de errorfunctie

De errorfunctie is een speciale functie in de wiskunde, die belangrijke toepassingen heeft binnen de kansrekening en de natuurkunde. De functie is gedefinieerd als:

$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

De errorfunctie is een antisymmetrische functie:

$\text{erf}(-x)=-\text{erf}(x)$.

Verder geldt: $\text{erf}(0)=0$ en $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\text{erf}(x)=1$.

De errorfunctie kan worden voorgesteld door de volgende reeks:

$\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}$

De gegeneraliseerde errorfunctie wordt gegeven door:

$\text{erf}(x,y)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{x}{\overset{y}{\int }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$.

De complementaire errorfunctie wordt gegeven door:

$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)$.

De imaginaire errorfunctie wordt gegeven door:

$\text{erfi}(x)=-i\text{erf}(i\cdot x)$

Verband met de normale verdeling

De errorfunctie is direct gerelateerd met de verdelingsfunctie $\mathrm{\Phi }$ van de standaard normale verdeling.

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right))$