Kronecker-symbool

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het Kronecker-symbool, geschreven als $\left(\frac{a}{n}\right)$ of (a|n), een veralgemening van het Jacobi-symbool voor alle gehele getallen n.

Het Kronecker-symbool werd geïntroduceerd door Leopold Kronecker.

Definitie

Laat n een niet-nulzijnd geheel getal met priemfactorisatie zijn

$u\cdot {p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k},$,

waar u een eenheid (dat wil zeggen, u is 1 of −1), en p_i de priemgetallen zijn. Laat a een geheel getal zijn.

Het Kronecker-symbool (a|n) wordt gedefinieerd door

$\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{a}{u}\right)\prod _{i=1}^k{\left(\frac{a}{p_i}\right)}^{e_i}.$

Voor oneven getallen p_i, is het getal (a|p_i) gewoon het gebruikelijke Legendre-symbool. Dit laat het geval over, waar p_i = 2. We definiëren (a'|2) door

$\left(\frac{a}{2}\right)=\{\begin{array}{cc}0& \text{als }a\text{ even is,}\\ 1& \text{als }a\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8),\\ -1& \text{als }a\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8).\end{array}$

Aangezien dit het Jacobi-symbool uitbreidt, is de hoeveelheid (a|u) gewoon 1, wanneer u = 1. Wanneer u = −1, definiëren we dit door

$\left(\frac{a}{-1}\right)=\{\begin{array}{cc}-1& \text{als }a<0,\\ 1& \text{als }a\ge 0.\end{array}$

Ten slotte nemen wij

$\left(\frac{a}{0}\right)=\{\begin{array}{cc}1& \text{als }a=\pm 1,\\ 0& \text{anders.}\end{array}$

Deze uitbreidingen volstaan om het Kronecker-symbool voor alle geheelgetallige waarden n te definiëren.

Zie ook

• Kroneckerdelta