Kaprekargetal

Een Kaprekargetal is in de wiskunde een geheel getal dat de hieronder beschreven eigenschap bezit. De Kaprekargetallen zijn genoemd naar de Indiase wiskundige D.R. Kaprekar (1905–1986).

Een geheel getal heet, bij een gegeven grondtal, een Kaprekargetal als het kwadraat ervan in twee getallen kan worden gesplitst die bij optelling weer het oorspronkelijke getal geven. Bijvoorbeeld, het 3-cijferige getal 703 is, bij het gebruikelijke grondtal 10, een Kaprekargetal, omdat 703² = 494209, en 494209 gesplitst kan worden in 494 en 209, en 494 + 209 = 703.

Definitie

Het natuurlijke getal k heet een Kaprekargetal bij het grondtal $b\in \mathbb{N},b\ge 1$, als er getallen $n,m_1,m_2\in \mathbb{N}$ zijn, met $n>0,0<m_2<b^n$, zo dat:

$k^2=m_1\cdot b^n+m_2$

$k=m_1+m_2$

Kaprekargetallen t/m 533170

De eerste 39 Kaprekargetallen bij het grondtal 10 zijn:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

De eerste 9 hiervan controleren:

$1:1^2=0\cdot 10^n+1;1=0+1$

$9:9^2=81;8+1=9$

$45:45^2=2025;20+25=45$

$55:55^2=3025;30+25=55$

$99:99^2=9801;98+1=99$

$297:297^2=88209;88+209=297$

$703:703^2=494209;494+209=703$

$999:999^2=998001;998+1=999$

$2223:2223^2=4941729;494+1729=2223$

Zoals te zien is, lijken de getallen $99\dots 9=10^n-1$ allemaal Kaprekargetallen. Dat kan ook bewezen worden. Stel

$k^2=10^n{m}_1+1=(m_1+1{)}^2$,

dan is

$10^n{m}_1+1=m_1^2+2m_1+1$,

dus

$m_1=10^n-2$

en

$k=m_1+1=10^n-1$

Inderdaad is

$99\dots 9^2=(10^n-1{)}^2=10^{2n}-2\cdot 10^n+1=99\dots 9800\dots 01$

en

$99\dots 9=99\dots 98+(00\dots 0)1$

6174

• Voor 6174, de constante van Kaprekar, geldt, dat een gegeven rij getallen, gedefinieerd met enkele bijzondere bewerkingen op die getallen, steeds bij 6174 uitkomt.