Idempotente matrix

In de algebra is een idempotente matrix een matrix, die met zichzelf vermenigvuldigd weer zichzelf is. Een matrix $M$ is dus idempotent, wanneer $MM=M$. Het is hiervoor noodzakelijk dat $M$ een vierkante matrix is.

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ en $\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right]$ zijn een voorbeeld van een $2\times 2$ en een $3\times 3$ idempotente matrix.

2 × 2 Voorbeeld

Als een matrix $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ idempotent is, dan

• $a=a^2+bc$,
• $b=ab+bd\Rightarrow b(1-a-d)=0\Rightarrow b=0$ of $d=1-a$,
• $c=ca+cd\Rightarrow c(1-a-d)=0\Rightarrow c=0$ of $d=1-a$,
• $d=bc+d^2$.

Het is dus voor iedere $2\times 2$ idempotente matrix zo, dat het een diagonaalmatrix is of dat het spoor ervan gelijk is aan 1. Voor iedere idempotente diagonaalmatrix zijn $a$ en $d$ ofwel 1 of 0.

Als $b=c$ is de matrix $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ idempotent als $a^2+b^2=a$. $a$ voldoet dus aan de vergelijking

$a^2-a+b^2=0$ of $(a-\frac{1}{2}{)}^2+b^2=\frac{1}{4}$.

Dit is een cirkel met centrum $(1/2,0)$ en straal 1/2. Of, in termen van een hoek $\theta$,

$M=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1+\cos \theta \end{array}\right)$ is idempotent, maar lineair afhankelijk.

$b=c$ is geen noodzakelijke voorwaarde: iedere matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$ met $a^2+bc=a$ is idempotent, maar ook weer afhankelijk.

Eigenschappen

Met uitzondering van de eenheidsmatrix is een idempotente matrix singulier. Veronderstel dat $M$ regulier is. $MM=M$ voorvermenigvuldigd met $M^{-1}$ geeft $M=I$.

Het verschil tussen een eenheidsmatrix en een idempotente matrix is weer een idempotente matrix, volgens $[I-M][I-M]=I-2M+M^2=I-2M+M=I-M$.

Voor een idempotente matrix $A$ geldt voor alle machten $n\ge 1$ dat $A^n=A$.

Een idempotente matrix is altijd diagonaliseerbaar en de eigenwaardes ervan zijn ofwel 0 of 1. Het spoor van een idempotente matrix is gelijk aan de rang van de matrix.