Hausdorffmaat

De hausdorffmaat, genoemd naar de Duitse wiskundige Felix Hausdorff, bepaalt de maat (afmeting, volume) van een deelverzameling van de $n$-dimensionale ruimte ${ℝ}^n$ of algemener van een metrische ruimte.

Achtergrond

Om de $m$-dimensionale maat van een deelverzameling $X$ van de ${ℝ}^n$ te bepalen, wordt $X$ overdekt met een aftelbaar aantal $m$-dimensionale bolletjes met straal kleiner dan $\epsilon$ en gaat men na hoe klein de totale afmeting van deze bolletjes kan worden. Het minimum van het volume van alle bolletjes gezamenlijk is:

$S_{\epsilon }^m(X)=\inf \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_m{r}_i^m$,

waarin $r_i$ de straal is van het $i$-de bolletje uit de overdekking en

$V_m=\frac{(\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}){)}^m}{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2}m)}$

het volume is van de eenheidsbol in $m$ dimensies. Het infimum wordt genomen over alle mogelijke dergelijke overdekkingen.

Door de maximaal toegestane straal $\epsilon$ van de bolletjes kleiner te nemen, krijgt men een goede benadering van de afmeting van $X$:

$S^m(X)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{S}_{\epsilon }^m(X)$

Voor de hausdorffmaat laat men in plaats van bolletjes alle deelverzamelingen van de ${ℝ}^n$ toe die klein genoeg zijn, dat wil zeggen die een diameter hebben kleiner dan $\epsilon$. De diameter is de grootste afstand binnen de verzameling:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(X)=\sup \{|x-y|:x,y\in X\}$

Definitie

De $m$-dimensionale hausdorffmaat $H_m$ van een deelverzameling $X$ van de ${ℝ}^n$ is gedefinieerd als:

$H^m(X)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{H}_{\epsilon }^m(X)$,

waarin

$H_{\epsilon }^m(X)=\inf \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_m(\frac{1}{2}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}(U_i){)}^m$,

en $U_i$ een deelverzameling is van de ${ℝ}^n$ met een diameter kleiner dan $\epsilon$, en de $U_i$ een aftelbare overdekking vormen van $X$.

Generalisaties

Metrische ruimte

De bovenstaande definitie kan eenvoudig gegeneraliseerd worden voor metrische ruimten. Daartoe vervangt men $|x-y|$ door de afstand $d(x,y)$ van $x$ en $y$.

Niet-gehele dimensies

Men kan ook voor niet-gehele dimensie $m$ de hausdorffmaat definiëren. De uitdrukking voor $V_n$ blijft dezelfde, maar stelt niet meer het volume van de eenheidsbol voor.