Equivalente matrices

Binnen de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, heten de $m\times n$-matrices $A$ en $B$ equivalent als er een inverteerbare $m\times m$-matrix $P$ en een inverteerbare $n\times n$-matrix $Q$ bestaan, zodanig dat

$B=PAQ$

Equivalente matrices kunnen gezien worden als matrices van dezelfde lineaire afbeelding, maar ten opzichte van verschillende bases. Dat kan ingezien worden door de keuze van bases $v_1$ en $v_2$ van $n$ vectoren in $V,$ en $w_1$ en $w_2$ van $m$ vectoren in $W,$ zodanig dat de matrices $Q$ en $P$ basistransformaties zijn,

$Q=K_{v_1}{K}_{v_2}^{-1}$ van de overgang van $v_1$ op $v_2$

en

$P=K_{w_2}{K}_{w_1}^{-1}$ van de overgang van $w_1$ op $w_2$

Daarin zijn

$K_{v_1}:V\to {ℝ}^n$

$K_{v_2}:V\to {ℝ}^n$

$K_{w_1}:W\to {ℝ}^m$

$K_{w_2}:W\to {ℝ}^m$

de betrokken coördinatiseringen. Dan is

$B=PAQ=K_{w_2}{K}_{w_1}^{-1}A{K}_{v_1}{K}_{v_2}^{-1},$

dus

$K_{w_2}^{-1}B{K}_{v_2}=K_{w_1}^{-1}A{K}_{v_1}=ℒ:V\to W$

een lineaire afbeelding die met betrekking tot de verschillende bases wordt voorgesteld door zowel $A$ als door $B.$

Equivalentierelatie

De relatie van equivalentie tussen matrices is inderdaad een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is equivalent met zichzelf; kies voor $P$ en $Q$ de geschikte eenheidsmatrices.
• (Symmetrie) Als $A$ equivalent met $B,$ is ook $B$ equivalent met $A,$ want $P$ en $Q$ zijn beide inverteerbaar, dus

$A=P^{-1}B{Q}^{-1}$

• (Transiviteit) Als $A$ equivalent is met $B,$ en $B$ equivalent met $C,$ geldt:

$B=PAQ$

en

$C=RBS$,

zodat

$C=(RP)A(QS)$

en dus is ook $A$ equivalent met $C.$

Eigenschap

Equivalente matrices hebben dezelfde rang.

Zie ook

• Congruente matrices
• Gelijksoortige matrices