Congruente matrices

In de lineaire algebra zegt men van twee vierkante matrices $A,B\in K^{n\times n}$(over het lichaam (Ned) / Veld (Be) $K$) dat ze congruent zijn als er een inverteerbare matrix $P\in K^{n\times n}$ bestaat zodanig dat

$B=P^{\text{T}}AP$,

waarin $P^{\text{T}}$ de getransponeerde aanduidt van $P$.

Verband met bilineaire vorm

Twee matrices zijn dan en slechts dan congruent als ze beide een grammatrix zijn van dezelfde bilineaire vorm.

Bewijs

Stel dat $A$ en $B$ congruente $n\times n$-matrices zijn over een lichaam/veld $K$. Kies als basis de eenheidsvectoren $\{e_1,\dots ,e_n\}$ in $V=K^n$ en definieer de bilineaire vorm $\alpha :V\times V\to K$ door:

$\alpha (e_i,e_j)=A_{ij}$

Dan is voor $x,y\in K^n$

$\alpha (x,y)=x^{\text{T}}Ay$

De vectoren $\{f_1=P{e}_1,\dots ,f_n=P{e}_n\}$ vormen ook een basis en voor de bilineaire vorm met:

$\beta (f_i,f_j)=B_{ij}$

geldt:

$\alpha (f_i,f_j)=f_i^{\text{T}}A{f}_j=(P{e}_i{)}^{\text{T}}A(P{e}_j)=e_i^{\text{T}}{P}^{\text{T}}AP{e}_j=e_i^{\text{T}}B{e}_j=B_{ij}=\beta (f_i,f_j)$

dus $\beta =\alpha$.

Stel omgekeerd dat de matrices $A$ en $B$ beide de bilineaire vorm $\lambda :V\times V\to K$ representeren. Dan zijn er bases $\{e_1,\dots ,e_n\}$ en $\{f_1,\dots ,f_n\}$, zodat:

$\lambda (x,y)=x_e^{\text{T}}A{y}_e=x_f^{\text{T}}B{y}_f=(P{x}_f{)}^{\text{T}}A(P{y}_f)=x_f^{\text{T}}{P}^{\text{T}}AP{y}_f$

waarin $x_e,x_f,y_e,y_f$ de getallenrijtjes zijn van de coördinaten van $x$ en $y$ ten opzichte van de bases $\{e\}$ en $\{f\}$, en $P$ de matrix van de basistransformatie is. Kennelijk is:

$B=P^{\text{T}}AP$,

dus zijn $A$ en $B$ congruent.

Equivalentierelatie

Matrix-congruentie is een equivalentierelatie, want:

• (Reflexiviteit) Elke matrix is congruent aan zichzelf; neem $P=𝕀$ de eenheidsmatrix.
• (Symmetrie) Als $B$ congruent is met $A$, is ook $A$ congruent met $B$, want $P$ is inverteerbaar, dus

$A=(P^{-1}{)}^{\text{T}}B{P}^{-1}$

• (Transitiviteit) Als $A$ congruent is met $B$ en $B$ congruent met $C$, geldt dat er inverteerbare matrices $P$ en $Q$ bestaan zodat

$A=P^{\text{T}}BP$

en

$B=Q^{\text{T}}CQ$,

Hieruit volgt dat

$A=(QP{)}^{\text{T}}C(QP)$,

en, omdat met $P$ en $Q$ ook $QP$ inverteerbaar is, is $A$ dus congruent met $C$.

Zie ook

• Gelijksoortige matrices
• Equivalente matrices