Cykelnotatie

In de combinatoriek, een deelgebied van de wiskunde, is de cykelnotatie een nuttige conventie voor het uitschrijven van een permutatie in termen van haar constituerende cykels

Definitie

Laat $S$ een eindige verzameling zijn en laat

$a_1,\dots ,a_k,k\ge 2$

verschillende elementen van $S$ zijn. De uitdrukking

$(a_1\dots a_k)$

duidt de cykel σ aan. De groepsactie van σ is

$a_1\mapsto a_2\mapsto a_3\dots a_k\mapsto a_1.$

Voor elke index i,

$\sigma (a_i)=a_{i+1},$

waar $a_{k+1}$ gelijk is aan $a_1$.

Er zijn $k$ verschillende uitdrukkingen voor dezelfde cykel; De onderstaande uitdrukkingen zijn allen een weergave van dezelfde cykel:

$(a_1{a}_2{a}_3\dots a_k)=(a_2{a}_3\dots a_k{a}_1)=\cdots =(a_k{a}_1{a}_2\dots a_{k-1}).$

Een 1-element cykel heeft dezelfde betekenis als de identiteitspermutatie en wordt daarom weggelaten. Het is gebruikelijk om de identiteitspermutatie simpelweg uit te drukken als $()$.

Permutatie als product van disjuncte cykels

Laat $\pi$ een permutatie van $S$ zijn en laat

$S_1,\dots ,S_k\subset S,k\in \mathbb{N}$

de banen van $\pi$ zijn met meer dan 1 element. Voor elke $j=1,\dots ,k$ laat $n_j$ de kardinaliteit van $S_j$ aanduiden. Kies dus een $a_{1,j}\in S_j$ en definieer

$a_{i+1,j}=\pi (a_{i,j}),i\in \mathbb{N}.$

Men kan nu $\pi$ uitdrukken als een product van disjuncte cykels, namelijk

$\pi =(a_{1,1}\dots a_{n_1,1})(a_{1,2}\dots a_{n_2,2})\dots (a_{1,k}\dots a_{n_k,k}).$

Voorbeeld

Er zijn 24 elementen in de symmetrische groep $\{1,2,3,4\}$. Deze kunnen geschreven worden in de cykelnotatie en gegroepeerd worden volgens hun conjugatieklassen:

$()$

$(12),(13),(14),(23),(24),(34)$ (transposities)

$(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)$

$(12)(34),(13)(24),(14)(23)$

$(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)$

Zie ook

• Cyclische permutatie

Externe link

• Sjabloon:En https://planetmath.org/cyclenotation