Cullengetal

In de wiskunde is een Cullengetal een natuurlijk getal van de vorm $C_n=n\cdot 2^n+1,$ met $n$ een natuurlijk getal ongelijk aan 0. Cullengetallen werden als eerste bestudeerd door James Cullen in 1905. Cullengetallen vormen een speciaal geval van Prothgetallen.

Geschiedenis

De Ierse jezuietenpater en wiskundige James Cullen hield zich in 1905 bezig met de nu naar hem genoemde getallen. Het was hem opgevallen dat behalve $C_1=3$ alle getallen van deze vorm tot aan $C_{99}$ samengesteld zijn en dus geen priemgetallen zijn. Hij was niet zeker wat het getal $C_{53}$ betreft, maar Allan J.C. Cunningham nam in 1906 deze onzekerheid weg, door aan te tonen dat 5591 een deler is. Cunningham bewees dat alle getallen $C_n$ met $n\le 200$ samengesteld zijn, met als mogelijke uitzondering $n=141.$

In 1958 bevestigde Raphael M. Robinson dat 18496 een priemgetal is, en toonde aan, dat met uitzondering van $C_1$ en $C_{141}$ alle Cullengetallen voor $n\le 1000$ samengesteld zijn.

In 1984 bewees Wilfrid Keller dat $C_{4713},C_{5795},C_{6611}$ en $C_{18496}$ eveneens priem zijn, maar dat alle andere Cullengetallen voor $n\le 30000$ samengesteld zijn.

Eigenschappen

In 1976 toonde Christopher Hooley aan dat de natuurlijke dichtheid van natuurlijke getallen $n$ waarvoor $C_n$ priem is, van de orde $o(x)$ is voor $x\to \mathrm{\infty }.$ In dit opzicht zijn bijna alle Cullengetallen samengesteld; de enig bekende Cullenpriemgetallen zijn die met $n=1,141,4713,5795,6611,18496,32292,32469,59656,90825,262419,361275$ en $481899$. Vermoed wordt wel dat er oneindig veel Cullenpriemgetallen zijn.

Sinds augustus 2009 is het grootste bekende Cullenpriemgetal het getal 6679881 × 26679881 + 1 bestaande uit 2,010,852 cijfers.

Een Cullengetal $C_n$ is deelbaar door $p=2n-1$ als $p$ een priemgetal is van de vorm $8k-3.$ Verder volgt uit de kleine stelling van Fermat dat als $p$ een priemgetal anders dan 2 is, $p$ deler is van $C_{m(k)}$ voor iedere $m(k)=(2^k-k)(p-1)-k$ met $k>0.$ Ook is aangetoond dat het priemgetal $p$ deler is van $C_{(p+1)/2}$ als 2 geen kwadratisch residu is modulo $p,$, en dat als 2 wel een kwadratisch residu is modulo $p,$ $p$ deler is van $C_{(3p-1)/2}.$

Het is tot nu toe onbekend of er een priemgetal $p$ is zodat $C_p$ ook een priemgetal is.

Generalisaties

Soms wordt een gegeneraliseerd Cullengetal gedefinieerd als een getal van de vorm $n\cdot b^n+1,$ waarin $n+2\ge b.$ Als een priemgetal in deze vorm geschreven kan worden, wordt het een gegeneraliseerd Cullenpriemgetal genoemd. Woodallgetallen worden soms Cullengetallen van de tweede soort genoemd.

Externe links

• The Prime Glossary: Cullen number
• MathWorld: Cullen number