Kleine stelling van Fermat

De kleine stelling van Fermat zegt dat voor ieder priemgetal $p$ en ieder geheel getal $a$ geldt:

$a^p\equiv amodp$

De stelling is genoemd naar Pierre de Fermat (1601 of 1606/7 - 1665).

Als $a$ en $p$ onderling ondeelbaar zijn is de stelling equivalent met de uitspraak:

$a^{p-1}\equiv 1modp$

Als $a$ een veelvoud van $p$ is, geldt:

$a^{p-1}\equiv 0modp$

De stelling wordt bijvoorbeeld gebruikt om bij modulair rekenen de restklasse van een groot getal uit te rekenen en is in 1736 door Leonhard Euler bewezen.

Pseudo-priemgetallen

Het omgekeerde van de kleine stelling van Fermat is niet algemeen geldig. Als voor zekere gehele $a$ en $k$ geldt dat

$a^k\equiv amodk$,

dan is $k$ niet noodzakelijk een priemgetal.

Een getal $q$ dat geen priemgetal is, maar waarvoor geldt dat

$a^q\equiv amodq$

voor zekere $a$ wordt een pseudopriemgetal genoemd. Als $q$ de eigenschap heeft dat het bovengenoemde geldt voor elke $a$, dan heet $q$ een carmichael-getal. Hierbij is de naam fermattest bedacht: als een getal $r$ voldoet aan

$a^r\equiv amodr$

voor zekere $a$ dan is $r$ een priemgetal of een pseudo-priemgetal.

Er is bewezen dat er oneindig veel pseudo-priemgetallen bestaan, maar binnen de gehele getallen zijn de pseudo-priemgetallen wel 'dunner gezaaid' dan de priemgetallen.

Laatste stelling van Fermat

De kleine stelling van Fermat mag niet worden verward met de laatste stelling van Fermat, die zegt dat de vergelijking $x^n+y^n=z^n$ geen geheeltallige oplossing heeft verschillend van 0 voor alle gehele waarden van $n$ groter dan 2. De stelling werd in november 1994 bewezen door de Britse wiskundige Andrew Wiles.

Literatuur

• Sjabloon:Aut, college over kleine stelling van Fermat aan de RUG