Constructie van Rytz

De constructie van Rytz is een constructie in de vlakke meetkunde (i.h.b. in de beschrijvende meetkunde) waarmee, uitgaande van twee in grootte en ligging gegeven toegevoegde stralen van een ellips, de symmetrieassen (de hoofd- en nevenas) – en daarmee ook de toppen – van die ellips met passer en liniaal kunnen worden bepaald; zie figuur 1. De constructie is genoemd naar de Zwitserse wiskundige David Rytz.

Over David Rytz

David Rytz von Brugg ( 1 april 1801, Bucheggberg – 25 maart 1868, Aarau) was de zoon van een predikant. Hij studeerde wiskunde in Göttingen en Leipzig en was onder meer leraar aan de Gewerbeschule (hogere technische school) in Aarau. Rytz von Brugg is alleen bekend om de hierboven genoemde asconstructie bij de ellips, die in 1845 is gepubliceerd in een werk over beschrijvende meetkunde door de Duitse wiskundige en jurist Leopold Moosbrugger (1796–1864).

Rytz’ constructie

fig. 1. Gegevens en resultaat

fig. 2. Constructie van Rytz

Bij de constructie wordt uitgegaan van de gegeven lijnstukken $OP$ en $OQ$, twee toegevoegde stralen van een ellips; zie figuur 1 (links) en vervolgens figuur 2.

Constructiestappen

1. Q' = Rotatie(Q, O, -90°)

2. M = Midden(P, Q')

3. G = Cirkel(M, O)

4. l = Lijn(P, Q')

5. {U, V} = Snijpunten(l, G)

6. ma = Lijn(O, U)

7. mb = Lijn(O, V)

De lijnen $m_a,m_b$ zijn de dragers van de assen van de ellips.

8. a = PV = Passer(P, V); Ga = Cirkel(O, a)

9. b = PU = Passer(P, U); Gb = Cirkel(O, b)

10. {A, At} = Snijpunten(ma, Ga); {B, Bt} = Snijpunten(mb, Gb)

De punten $A,A_t,B,B_t$ zijn de toppen van de ellips. De ellips zelf is bepaald door vijf punten uit $A,A_t,B,B_t,P,Q$.

fig. 3. Bewijs van de constructie

Bewijs.

Zie figuur 3. De ellips wordt opgevat als het beeld bij een (loodrechte) lijnvermenigvuldiging met factor $b/a$ van de omgeschreven cirkel $G_a$ van de ellips (middellijn van beide is $A{A}_t$; straal van de cirkel is $a$).

De bij de vermenigvuldiging gebruikte rechte lijn is $A{A}_t$; zie ook de lijnen $P{P}^{*},Q{Q}^{*}$.

De ingeschreven cirkel van de ellips is $G_b$ (middellijn $B{B}_t$; straal $b$). Het middelpunt van de cirkels en van de ellips is het punt $O$.

De punten $P^{*},Q^{*},B^{*}$ zijn de originelen (op $G_a$) van $P,Q,B$ (op de ellips).

De rotatie met centrum $O$ over een hoek van -90° beeldt driehoek $OQ{Q}^{*}$ af op driehoek $O{Q}^{\prime }{P}^{*}$. Daardoor ontstaat een rechthoek $P{P}^{*}{Q}^{\prime }{P}^{\prime }$ waarvan de zijden twee aan twee evenwijdig zijn met de assen van de ellips. Zie ten aanzien hiervan ook de opmerking hierna.

De diagonaal $P{Q}^{\prime }$ van die rechthoek (midden $M$) snijdt de symmetrieassen van de ellips in de punten $U,V$. Merk nu op dat de trapezia $OUP{P}^{\prime }$ en $O{P}^{\prime }{Q}^{\prime }V$ beide gelijkbenig zijn. Zodat:

$UP=O{P}^{\prime }=b=V{Q}^{\prime }$

$VP=V{Q}^{\prime }+Q^{\prime }P=b+P^{\prime }{P}^{*}=b+(a-b)=a$

Uit $V{Q}^{\prime }=UP$ volgt tevens dat het punt $M$ het midden is van het lijnstuk $UV$. Daarmee liggen de punten $U,V$ dus op de cirkel door $O$ met middelpunt $M$ (d.i. de cirkel $G$ in de constructie van Rytz).

Opmerking. Dat het lijnstuk $O{Q}^{*}$ bij de rotatie over -90° om $O$ wordt afgebeeld op het lijnstuk $O{P}^{*}$, is gelegen in het feit dat de volgende stelling geldt:

Stelling. Wordt een cirkel met een loodrechte lijnvermenigvuldiging afgebeeld op een ellips, dan zijn de originelen van twee toegevoegde middellijnen van de ellips loodrecht op elkaar staande middellijnen van de cirkel.

Deze stelling is in het artikel "Toegevoegde middellijnen" bewezen.