Brahmaguptapolynoom

Een brahmaguptapolynoom van de orde $n$ is elk van de beide polynomen die op de eerste rij staan van de $n$-de macht van de brahmaguptamatrix

$B(x,y,1)=\left[\begin{array}{cc}x& y\\ ty& x\end{array}\right]$

Schfijft men de $n$-de macht daarvan als:

${\left[\begin{array}{cc}x& y\\ ty& x\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\\ t{y}_n& x_n\end{array}\right]$,

dan zijn $x_n$ en $y_n$ brahmaguptapolynomen van de orde $n$. Deze polynomen voldoen daarmee aan het paar recurrente betrekkingen:

$x_{n+1}=x\cdot x_n+t\cdot y\cdot y_n$

$y_{n+1}=x\cdot y_n+y\cdot x_n$

De eerste polynomen zijn:

$x_0=1$

$y_0=0$

$x_1=x$

$y_1=y$

$x_2=x^2+t{y}^2$

$y_2=2xy$

$x_3=x^3+3tx{y}^2$

$y_3=3x^{2}y+t{y}^3$

De algemene vorm is:

$x_n=\sum _{k=0,keven}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t^{k/2}{x}^{n-k}{y}^k$

$y_n=\sum _{k=1,koneven}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t^{(k-1)/2}{x}^{n-k}{y}^k$

De brahmaguptapolynomen voldoen ook aan de volgende betrekking tussen de partiële afgeleiden:

$\frac{\partial x_n}{\partial x}=\frac{\partial y_n}{\partial y}=n{x}_{n-1}$

$\frac{\partial x_n}{\partial y}=t\frac{\partial y_n}{\partial x}=nt{y}_{n-1}$

Relatie met pellgetallen

Voor $x=y=1,t=2$ is de brahmaguptapolynoom $y_n=P_n$, het $n$-de pellgetal, en $2x_n=Q_n$, het $n$-de pellgetal van de tweede soort.