Bètafunctie

Contour plot van de betafunctie

Waarden van de betafunctie in het reële vlak

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde, die gedefinieerd is als

$B(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t$

voor complexe getallen $x$ en $y$ waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in $x$ en $y$, wat wil zeggen dat $B(x,y)=B(y,x)$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

$B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$

De bètafunctie kan op veel andere manieren geschreven worden:

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(\sin \theta {)}^{2x-1}(\cos \theta {)}^{2y-1}\mathrm{d}\theta ,(\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0)$

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{x-1}}{(1+t{)}^{x+y}}\mathrm{d}t(\mathrm{R}\mathrm{e}(x)>0,\mathrm{R}\mathrm{e}(y)>0)$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{y^{n+1}}{n!(x+n)}$

$\mathrm{B}(x,y)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-y}{n})}{x+n}$

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{x+y}{xy}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+\frac{x+y}{n}}{(1+\frac{x}{n})(1+\frac{y}{n})}$

Gelijkheden

$\mathrm{B}(x,y)\cdot \mathrm{B}(x+y,1-y)=\frac{\pi }{x\sin (\pi y)}$

Er is een goniometrische vorm van de Bètafunctie:

$B(x,y)=2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}(\sin t{)}^{2x-1}(\cos t{)}^{2y-1}\mathrm{d}t$

Speciale gevalen

Uit de formule van Euler kunnen de volgende speciale gevallen worden afgeleid:

$\mathrm{B}(x,1-x)=\pi \csc (\pi x)$

Veel bètafunctiewaarden voor rationale getalparen kunnen worden weergegeven met pi en met volledige elliptische integralen van de eerste soort.

$\mathrm{B}(\frac{1}{3},\frac{1}{3})=2\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{3}K[\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})]$

$\mathrm{B}(\frac{1}{4},\frac{1}{2})=2\sqrt{2}K\left(\frac{1}{2}\sqrt{2}\right)$

$\mathrm{B}(\frac{1}{7},\frac{2}{7})=4\sqrt[4]{7}\cos \left(\frac{\pi }{14}\right)K[\frac{1}{8}(3\sqrt{2}-\sqrt{14})]$

$\mathrm{B}(\frac{3}{8},\frac{3}{8})=4\sqrt[4]{8}(\sqrt{2}-1)K(\sqrt{2}-1)$

$\mathrm{B}(\frac{2}{15},\frac{8}{15})=3^{3/4}{5}^{5/12}\sec \left(\frac{\pi }{5}\right)K[\frac{1}{16}(\sqrt{10}-\sqrt{6})(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})]$

Externe links

• Bètafunctie op MathWorld