Appell-veeltermen

In de wiskunde duidt men met Appell-veeltermen of Appell-rij een veeltermrij aan, met de eigenschap dat de afgeleide van de $n$ -de veelterm gelijk is aan $n$ maal de $(n - 1)$ -de veelterm. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Paul Appell, die er in 1880 een artikel over publiceerde.^[1]

Een Appell-rij is dus een rij veeltermen $A_{0} (x), A_{1} (x), \dots, A_{n - 1} (x), A_{n} (x), \dots$ waarbij $A_{n} (x)$ een veelterm is van graad $n$ , en

\frac{d A_{n} (x)}{d x} = n A_{n - 1} (x)

Er zijn oneindig veel rijen van veeltermen die hieraan voldoen; de eenvoudigste is wellicht de rij

1, x, x^{2}, \dots, x^{n}, \dots

van de opeenvolgende machten van de variabele $x$ . Maar men kan met een willekeurige rij getallen $a_{i}, i = 0, 1, \dots (a_{0} \neq 0)$ een Appell-rij maken; de overeenkomstige rij is:

A_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (\binom{n}{k}) x^{n - k}

,

waarvan de eerste termen zijn:

A_{0} (x) = a_{0}

A_{1} (x) = a_{0} x + a_{1}

A_{2} (x) = a_{0} x^{2} + 2 a_{1} x + a_{2}

A_{3} (x) = a_{0} x^{3} + 3 a_{1} x^{2} + 3 a_{2} x + a_{3}

A_{4} (x) = a_{0} x^{4} + 4 a_{1} x^{3} + 6 a_{2} x^{2} + 4 a_{3} x + a_{4}

enzovoort. De $n$ -de veelterm wordt recursief bepaald door:

A_{n} (x) = \int_{0}^{x} A_{n - 1} (t) d t + a_{n}

waarin de integratieconstante $a_{n}$ vrij te kiezen is (op voorwaarde dat $a_{0} \neq 0$ is). Als men $a_{0} = 1, a_{1} = a_{2} = \dots = 0$ kiest, verkrijgt men de machten van $x$ .

Hermite-veeltermen (mits scalering), bernoulli- en euler-veeltermen zijn voorbeelden van Appell-rijen. Bernoulli-veeltermen verkrijgt men door als integratieconstanten de Bernoulligetallen te nemen.

Voortbrengende functie

Appell noemde de functie

f (h) = a_{0} + a_{1} h + \frac{a_{2}}{2!} h^{2} + \dots + \frac{a_{n}}{n!} h^{n} + \dots

de voortbrengende functie van een Appell-rij. Bij elke $f (h)$ met gegeven coëfficiënten $(a_{i})$ hoort een Appell-rij $(A_{n})$ en omgekeerd. Het verband komt tot uiting indien men het product maakt van $f (h)$ met

e^{h x} = 1 + h x + \frac{h^{2}}{2!} x^{2} + \dots + \frac{h^{n}}{n!} x^{n} + \dots

Als men dit product rangschikt naar de machten van $h$ , is de coëfficiënt van $\frac{h^{n}}{n!}$ gelijk aan $A_{n}$ :

f (h) e^{h x} = A_{0} + A_{1} h + A_{2} \frac{h^{2}}{2!} + \dots + A_{n} \frac{h^{n}}{n!} + \dots

Voorbeelden

Voor de machten van $x$ is de voortbrengende functie $f (h) = 1$ .

Met de voortbrengende functie $f (h) = 1 - h$ krijgt men:

(1 - h) e^{h x} = 1 + (x - 1) h + (x^{2} - 2 x) \frac{h^{2}}{2!} + (x^{3} - 3 x^{2}) \frac{h^{3}}{3!} + \dots

wat de veeltermrij $A_{n} = x^{n} - n x^{n - 1}$ oplevert.

Als de functie $f (h)$ de rij $(A_{i}), i = 0, 1, 2, \dots$ voortbrengt, en $(B_{i}), i = 0, 1, 2, \dots$ wordt voortgebracht door de afgeleide $f^{'} (h)$ , is het verband tussen beide rijen:

B_{n} = A_{n + 1} - x A_{n}

Als de functie $f (h)$ de rij $(A_{i}), i = 0, 1, 2, \dots$ voortbrengt, en $(C_{i}), i = 0, 1, 2, \dots$ wordt voortgebracht door de integraal $\int f (h) d h$ ,is het verband tussen beide rijen:

C_{n} = C_{0} x^{n} + A_{0} x^{n - 1} + \dots + A_{n - 2} x + A_{n - 1}

Hierin is $C_{0}$ een willekeurige integratieconstante.

Externe link

Planet Math: Appell sequence

Sjabloon:Appendix

↑ Sjabloon:Aut "Sur une classe de polynômes." Annales scientifiques de l'É.N.S. 2e série (1880), vol. 9, blz. 119-144. Gearchiveerd op 21 december 2021.

[1] Sjabloon:Aut "Sur une classe de polynômes." Annales scientifiques de l'É.N.S. 2e série (1880), vol. 9, blz. 119-144. Gearchiveerd op 21 december 2021.

[1]

Appell-veeltermen

Voortbrengende functie

Voorbeelden

Externe link

Navigatiemenu

Zoeken