Euler-polynoom

In de wiskunde zijn de euler-polynomen de polynomen ${\mathrm{E}}_n$, impliciet gedefinieerd door hun voortbrengende functie:

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{E}}_n(x)\frac{t^n}{n!}$

De eerste 7 zijn:

$n$	${\mathrm{E}}_n(x)$
0	$1$
1	$x-\frac{1}{2}$
2	$x^2-x=x(x-1)$
3	$x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})(x^2-x-\frac{1}{2})$
4	$x^4-2x^3+x=x(x-1)(x^2-x-1)$
5	$x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{2}{x}^2-\frac{1}{2}=(x-\frac{1}{2})(x^2-x-1{)}^2$
6	$x^6-3x^5+5x^3-3x=x(x-1)(x^4-2x^3-2x^2+3x+3)$

Recursieve definitie

De polynomen kunnen ook recursief gedefinieerd worden door:

${\mathrm{E}}_0(x)=1$

en voor $n=1,2,\dots$

${\mathrm{E}}_{2n-1}(x)=\underset{1/2}{\overset{x}{\int }}(2n-1){\mathrm{E}}_{2n-2}(t)\mathrm{d}t$

${\mathrm{E}}_{2n}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}2n{\mathrm{E}}_{2n-1}(t)\mathrm{d}t$

Eigenschappen

Euler-polynomen zijn, afgezien van het teken, symmetrisch om het punt $\frac{1}{2}$, d.w.z.:

${\mathrm{E}}_n(\frac{1}{2}+x)=(-1{)}^n{\mathrm{E}}_n(\frac{1}{2}-x)$

Voor de waarden in de punten $x=\frac{1}{2}$ en $x=0$ geldt:

${\mathrm{E}}_n(\frac{1}{2})=2^{-n}{E}_n$

en

${\mathrm{E}}_{n-1}(0)=(2^{n+1}-2)\frac{B_n}{n},$

waarin $(E_n)$ de eulergetallen zijn en $(B_n)$ de bernoulli-getallen.

Er geldt de identiteit:

${\mathrm{E}}_n(x+1)+{\mathrm{E}}_n(x)=2x^n$

Voor $n>5$ heeft de Euler-polynoom ${\mathrm{E}}_n$ minder dan $n$ reële nulpunten. Weliswaar heeft ${\mathrm{E}}_5$ 5 nulpunten, waarvan er 2 dubbel zijn, maar ${\mathrm{E}}_6$ heeft slechts de twee (triviale) nulpunten 0 en 1.