Lorentz-variëteit

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is een lorentz-variëteit een belangrijk speciaal geval van een pseudo-riemann-variëteit, waarbij de signatuur van de metrische tensor, voor $n$ dimensies $(1,n-1)$ is, ook wel genoteerd als bijvoorbeeld (+, -, -, -) voor $n=4$. De omgekeerde notatie komt ook voor, dus bijvoorbeeld (3, 1) of (-, +, +, +). Bij zo'n metrische tensor wordt wel gesproken van een lorentz-metriek, niet te verwarren met het striktere begrip metriek. Ze zijn naar de Nederlandse natuurkundige Lorentz genoemd.

Na riemann-variëteiten vormen lorentz-variëteiten de belangrijkste deelklasse van pseudo-riemann-variëteiten. Ze zijn belangrijk vanwege hun natuurkundige toepassingen in de algemene relativiteitstheorie. Een van de belangrijkste veronderstellingen van de algemene relativiteitstheorie is dat de ruimtetijd kan worden beschreven als een vierdimensionale lorentz-variëteit met teken (3, 1), of gelijkwaardig met (1, 3).

In tegenstelling tot riemann-variëteiten, die een positief-definiete metriek hebben, kan men bij een signatuur van $(1,p)$ of $(q,1)$ de raakvectoren classificeren als 'tijd-achtig', 'nul' of anders als 'licht-achtig' en als 'ruimte-achtig'. Met $g$ de lorentzmetriek met signatuur (-, +, +, +, ...) is dit voor vectoren $X$ gedefinieerd als:

• tijdachtig – als $g(X,X)<0$
• lichtachtig – als $g(X,X)=0$
• ruimteachtig – als $g(X,X)>0$

De namen zijn ontleend aan de eenvoudigere, 'vlakke' minkowski-ruimte. Daar kan men de termen eenvoudig natuurkundig interpreteren: de eindigheid van de lichtsnelheid betekent dat punten in de ruimtetijd, gebeurtenissen, die door een ruimte-achtige vector worden verbonden, geen causaal verband kunnen hebben, terwijl de punten die door een tijd-achtige vector worden verbonden wel een causaal verband kunnen hebben. Lichtachtig of 'nul', van het Engelse null, is het grensgeval.