Affiene groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de affiene groep of de algemene affiene groep van een affiene ruimte over een lichaam/veld $K$ de groep van alle inverteerbare affiene transformaties van die ruimte. De groepsbewerking is de functiecompositie.

De affiene groep is een lie-groep als $K$ een reëel, complex of quaternionen-lichaam/veld is.

Definitie

Een inverteerbare affiene transformatie $f_{A,a}:V\to V$ van een vectorruimte $V$ is van de vorm

$f_{A,a}(v)=Av+a$,

met $A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$ een isomorfisme van $V$, en $a$ een vast element van $V$.

De transformatie $f_{A,a}$ is dus samengesteld uit het isomorfisme $A$ en een translatie over de vector $a$.

Er geldt:

$(f_{A,a}\circ f_{B,b})(v)=f_{A,a}(f_{B,b}(v))=f_{A,a}(Bv+b)=ABv+Ab+a=f_{AB,Ab+a}(x)$

dus

$f_{A,v}\circ f_{B,w}=f_{AB,Ab+a}$

en ook:

$f_{A,a}(v)=y\iff Av+a=y\iff v=A^{-1}y-A^{-1}a$

zodat:

$f_{A,v}^{-1}=f_{A^{-1},(-A^{-1}a})$

De inverteerbare, affiene transformaties vormen dus een groep, de affiene groep of algemene affiene groep, aangeduid met $\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{L}(V)$, $\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}(V)$ of $\mathrm{G}\mathrm{A}(V)$.

Als $V=K^n$ de $n$-dimensionale ruimte over het lichaam/veld $K$ is, wordt de affiene groep genoteerd als ${\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(K)$. In een context waarin $K$ duidelijk is, wordt ook wel alleen de parameter $n$ aangegeven, bijvoorbeeld $\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}(n)$.

Voor eindige $K$ met $q$ elementen, schrijft men eenvoudigweg ${\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(q)$, want een eindig lichaam/veld is door het aantal elementen op isomorfie na eenduidig bepaald.

De affiene groep $\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}(n)$ van de $n$-dimensionale euclidische ruimte met elementen $Ax+b$ heeft een aantal belangrijke ondergroepen:

• algemene lineaire groep $\mathrm{G}\mathrm{L}(n)$ met elementen $Ax$, de oorsprong blijft op zijn plaats
• euclidische groep $\mathrm{E}(n)$ of $\mathrm{I}\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ (de isometrieën, dus geen vervorming of vergroting/verkleining)
• orthogonale groep $\mathrm{O}(n)$ (de doorsnede van de twee: de isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft)

Verder zijn er nog de ondergroepen hiervan waarbij de determinant van de betreffende matrix 1 is:

• speciale lineaire groep, $\mathrm{S}\mathrm{L}(n)$ (wel vervormingen, maar geen spiegeling en geen verandering van het $n$-dimensionale volume)
• speciale euclidische groep $\mathrm{S}\mathrm{E}(n)$ (de directe isometrieën; voor $n=3$ zijn dit de mogelijke veranderingen van positie en stand van een star lichaam)
• speciale orthogonale groep $\mathrm{S}\mathrm{O}(n)$ (de directe isometrieën waarbij de oorsprong op zijn plaats blijft; voor $n=2$ zijn dit de draaiingen om de oorsprong, voor $n=3$ de draaiingen om een as door de oorsprong)