Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een bijectieve transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur hetzelfde blijft: punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken en evenwijdige lijnen blijven evenwijdig.

De affiene groep is de groep van affiene transformaties. Ze zijn van de vorm $T(x)=Ax+b$, met $A$ inverteerbaar.

Als $x_1,x_2,\dots ,x_n$ de coördinaten zijn van een punt $x$ in de $n$-dimensionale affiene meetkunde, worden de coördinaten van het beeld $T(x)$ onder een affiene transformatie $T$ bepaald door:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$,

waarin $A=(a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en $b_1,b_2,\dots ,b_n$ de coördinaten zijn van een translatievector $b$.

Als de matrix $A$ de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als $A$ een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een vermenigvuldiging. De translaties en vermenigvuldigingen vormen een groep, namelijk die van de dilataties.