Telmaat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de telmaat een intuïtieve manier om een maat op te leggen aan een verzameling: de "grootte" van een eindige deelverzameling is het aantal elementen van deze deelverzameling. Van een oneindige deelverzameling is de telmaat ook oneindig.

Definitie

Laat $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$ een meetbare ruimte zijn met $\mathrm{\Sigma }$ de sigma-algebra van alle deelverzamelingen van $\mathrm{\Omega }$. De functie $\mu$ op deze meetbare ruimte, gedefinieerd door:

$\mu (A)=\{\begin{array}{cc}|A|& \text{voor eindige deelverzamelingen }A\subset \mathrm{\Omega }\\ \\ \mathrm{\infty }& \text{voor oneindige deelverzamelingen }A\subset \mathrm{\Omega }\end{array}$

heet de telmaat, en is een maat op $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma })$.

Daarbij is $|A|$ de kardinaliteit van $A$, dus voor eindige deelverzamelingen het aantal elementen.

De telmaat maakt het mogelijk veel uitspraken over $L^p$-ruimten, zoals de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, de ongelijkheid van Hölder of de ongelijkheid van Minkowski, om te zetten naar een meer bekende setting. Als $\mathrm{\Omega }=\{1,\dots ,n\}$ en $S=(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ de maatruimte is met telmaat $\mu$ op $\mathrm{\Omega }$, dan is $L^p(S)$ gelijk aan ${ℝ}^n$ (of ${ℂ}^n$), met een norm gedefinieerd door

$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$

voor $x=(x_1,\dots ,x_n)$. Het delen van de telmaat $\mu$ door het aantal $n$ van elementen in $\mathrm{\Omega }$ geeft de discrete uniforme verdeling.

Als $\mathrm{\Omega }$ de verzameling van natuurlijke getallen is en $S$ de maatruimte met telmaat op $\mathrm{\Omega }$, dan bestaat $L^p(S)$ uit de rijen $x=(x_n)$ waarvoor geldt

$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p{)}^{1/p}<\mathrm{\infty }$

Deze zogenaamde Lp-ruimte wordt vaak geschreven als ${\ell }^p$.

De telmaat op telbare verzamelingen is ook nuttig om stellingen uit Lebesgue-integratie theorie toe te passen op rijen. Voorbeelden zijn onder andere de monotone convergentiestelling, het lemma van Fatou, de gedomineerde convergentiestelling en de stelling van Fubini.