Grote getallen

Grote getallen in het kader van dit artikel zijn getallen die zeer veel groter zijn dan de getallen die in het alledaagse leven worden gebruikt. Dit soort getallen wordt doorgaans gebruikt in wetenschappen als wiskunde, astronomie en cryptografie. Vandaar ook de term "astronomisch groot". Het is overigens eenvoudig getallen te definiëren die weer zeer veel groter zijn dan de getallen die in de astronomie worden gebruikt.

Schrijfwijze van grote getallen

Grote getallen worden doorgaans gebruikt in bepaalde wetenschappen. Specifiek voor dit doel (en voor de representatie van zeer kleine getallen) is de wetenschappelijke notatie bedacht. Hierin worden getallen uitgedrukt als het product van een relatief klein getal, meestal tussen 1 en 10, en een macht van 10. Bijvoorbeeld Sjabloon:Nowrap Dit is Sjabloon:Nowrap ofwel Sjabloon:Nowrap ofwel Sjabloon:Nowrap

Het zal duidelijk zijn dat Sjabloon:Nowrap een kortere notatie is dan Sjabloon:Nowrap. Dit wordt nog duidelijker indien men het betreffende getal vermenigvuldigt met een factor miljoen, wat het getal drie-en-een-kwart biljard oplevert. Ter illustratie nogmaals de wetenschappelijke notatie vergeleken met de "gewone":

Sjabloon:Nowrap is hetzelfde als Sjabloon:Nowrap

Een bijkomend voordeel van de wetenschappelijke notatie is dat bij een vergelijking van twee grote getallen veel eenvoudiger te zien is welke van de twee groter is. Indien men bijvoorbeeld de getallen Sjabloon:Nowrap en Sjabloon:Nowrap volledig uitschrijft, is het niet onmiddellijk duidelijk welk getal groter is. Als deze getallen waren genoteerd als 2,15 × 10²¹ en 8,33 × 10²⁰ was het in één oogopslag duidelijk geweest door alleen maar te kijken naar de exponent van het getal 10.

Overigens is het zo dat de bovenstaande getallen in de wetenschappelijke schrijfwijze niet exact gelijk zijn aan de eerder genoemde getallen. Een eigenschap van onze manier van weergave van getallen is dat de cijfers naar rechts steeds minder significant worden, en daarom vaak worden verwaarloosd (lees: worden verondersteld gelijk aan nul te zijn). Het verschil tussen Sjabloon:Nowrap en Sjabloon:Nowrap is slechts 0,02%.

Het schrijven van machten van tien is weleens lastig, vooral op een schrijfmachine of computer. In programmeertalen gebruikt men daarom de letter E, de exponent die boven het getal 10 gedacht moet worden. In plaats van Sjabloon:Nowrap schrijft men dan 2.15E21. Ook in informele notities wordt deze notatie weleens gebruikt.

Er zijn door herhaald machtsverheffen, door tetratie, grotere getallen te definiëren dan getallen met een enkele exponent. Deze nieuwe getallen kunnen met Knuths pijlomhoognotatie worden gedefinieerd.

Er zijn onderdelen in de wiskunde, waarin grote getallen worden gebruikt.

• getaltheorie - Het grootste bekende priemgetal, dat in december 2018 is gevonden, is het mersennepriemgetal 2^{82 589 933}−1. Het was het 51e mersennepriemgetal dat is gevonden.
• theoretische informatica - Een functie, die meer dan exponentieel stijgt is de Ackermannfunctie. Die wordt als de maat van de berekenbaarheid van sommige modellen gebruikt.

Voorbeelden van grote getallen

• 1 miljoen seconden duren ongeveer Sjabloon:Nowrap Sjabloon:Nowrap.
• 1 miljard seconden duren ongeveer Sjabloon:Nowrap Sjabloon:Nowrap Sjabloon:Nowrap.
• 1 biljoen seconden duren bijna Sjabloon:Nowrap.
• 1 miljoen uur duurt ongeveer Sjabloon:Nowrap Sjabloon:Nowrap.
• 1 eeuw bevat gemiddeld 3 155 695 200 seconden.
• 1 quadriljoen waterstofatomen wegen samen ruim Sjabloon:Nowrap.
• De Atlantische Oceaan bevat enkele quadriljoenen waterdruppels.
• De planeet Jupiter heeft een massa van circa Sjabloon:Nowrap.
• De planeet Saturnus heeft een aanmerkelijk kleinere, maar nog steeds aanzienlijke massa van ongeveer Sjabloon:Nowrap.
• De aarde heeft een massa van 'slechts' zo'n Sjabloon:Nowrap. Desalniettemin heeft de aarde van alle planeten in het zonnestelsel wél de grootste dichtheid met Sjabloon:Nowrap ≈ Sjabloon:Nowrap.
• Een harde schijf van vier terabyte bevat circa 4×10¹³ bits.
• Het aantal cellen in het menselijke lichaam: meer Sjabloon:Nowrap.
• Het aantal verbindingen in de menselijke hersenen: Sjabloon:Nowrap.
• 1 lichtjaar: Sjabloon:Nowrap.
• 1 parsec: Sjabloon:Nowrap.
• Constante van Avogadro: Sjabloon:Nowrap.
• Het aantal deeltjes in het heelal: Sjabloon:Nowrap.
• Googol = Sjabloon:Nowrap = Sjabloon:Nowrap.
• Getal van de ossen = Sjabloon:Nowrap.
• Googolplex = Sjabloon:Nowrap = Sjabloon:Nowrap.
• Eerste getal van Skewes = $10^{10^{10^{34}}}$.
• Het grootste getal uit de antieke oudheid wordt bezongen in hoofdstuk 30 van de boeddhistische Avatamsaka Soetra Sjabloon:Nowrap en is ongeveer $10^{10^{5\cdot 2^{120}}}$.
• Getal van Graham, genoemd naar Ronald Graham. Hiervoor is een aparte notatie vereist, aangezien dit getal te groot is om in de wetenschappelijke notatie te worden uitgedrukt, zelfs met meervoudig opeenvolgende exponenten, zoals bij googolplex nog relatief simpel gebeurt.

Naamgeving van grote getallen

De naamgeving van grote getallen is direct gerelateerd aan hun orde van grootte. Per factor duizend wordt een andere naam gebruikt. Een miljoen is duizend maal duizend. Daarna komen een miljard, biljoen, biljard, triljoen en triljard. Hierna worden er voorvoegsels die een macht van een miljoen aangeven gebruikt:

quadriljoen = miljoen tot de vierde

quadriljard = Sjabloon:Nowrap

quintiljoen = miljoen tot de vijfde

quintiljard = Sjabloon:Nowrap

Zo gaat het door met de voorvoegsels sex-, sept-, oct-, non-, deci- en undeci. Bijvoorbeeld:

Sjabloon:Nowrap miljoen tot de Sjabloon:Nowrap

Sjabloon:Nowrap

Men slaat in de in veel Engelssprekende landen de Sjabloon:Nowrap over, dus daar telt men per factor duizend: million, billion, trillion, quadrillion, enz. Dit is het verschil tussen de korte en lange schaal.

In hun boek "The book of numbers" beschrijven John Conway en Richard Guy hoe grote getallen in woorden moeten worden uitgedrukt. Voor de nog grotere getallen die door Knuths pijlomhoognotatie en Conway's geketende pijlnotatie mogelijk worden, schieten zulke woorden tekort.

Zie ook

• Lijst van machten van tien
• Lijst van natuurlijke getallen