Mersennepriemgetal

In de wiskunde is een mersennepriemgetal een priemgetal van de vorm $2^n-1$, met $n$ een natuurlijk getal.

Getallen $M_n$ van de vorm

$M_n=2^n-1$

worden mersennegetallen genoemd. In sommige definities wordt geëist dat de exponent $n$ een priemgetal is. Mersennegetallen zijn genoemd naar de Franse wiskundige Marin Mersenne, die deze getallen in de 17e eeuw voor het eerst onderzocht.

Als $M_n$ een mersennepriemgetal is, is de exponent $n$ zelf ook een priemgetal. Immers:

$2^{ab}-1=(2^a-1)(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a})$

Geschiedenis

Tabel van het vermoeden van Mersenne: $n\le 263$

P: $M_n$ is priem —: $M_n$ is samengesteld Mersenne had gelijk. Hij had het fout.
$n$	2	3	5	7	11	13	17	19
$M_n$	P	P	P	P	—	P	P	P
$n$	23	29	31	37	41	43	47	53
$M_n$	—	—	P	—	—	—	—	—
$n$	59	61	67	71	73	79	83	89
$M_n$	—	P	—	—	—	—	—	P
$n$	97	101	103	107	109	113	127	131
$M_n$	—	—	—	P	—	—	P	—
$n$	137	139	149	151	157	163	167	173
$M_n$	—	—	—	—	—	—	—	—
$n$	179	181	191	193	197	199	211	223
$M_n$	—	—	—	—	—	—	—	—
$n$	227	229	233	239	241	251	257	263
$M_n$	—	—	—	—	—	—	—	—

Mersenne beweerde in 1644 dat $p=M_n$ priem is als $n=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257$, maar dat $p$ een samengesteld getal is wanneer $n$ een van de andere priemgetallen, kleiner dan 257, is. Mersenne zat er wat betreft bovenstaande rij vijf keer naast. $M_{67}$ en $M_{257}$ zijn geen priemgetallen, terwijl $M_{61}$, $M_{89}$ en $M_{107}$ dit juist wel zijn.

Het grootste bekende priemgetal is sinds 1952 een mersennepriemgetal, met uitzondering van de periode van 1989 tot 1992 toen een ander getal was gevonden. Er wordt met GIMPS door distributed computing, over internet, naar nieuwe priemgetallen gezocht. Het is in 1996 begonnen en sinds 2005 zijn alle nieuwe grootste priemgetallen, steeds mersennepriemgetallen, met GIMPS gevonden. Het grootst bekende priemgetal is in oktober 2024 gevonden: het is 2^{136 279 841}-1. Het was het 52e mersennepriemgetal dat is gevonden.

Theorie

Poststempel van ongeveer 1964 tot 1976 gebruikt door het wiskundedepartement van het UIUC, naar aanleiding van de mersennepriemgetallen in 1963 door D Gillies ontdekt

De drie kleinste mersennepriemgetallen zijn

$M_2=3,M_3=7,M_5=31$

Hoewel mersennegetallen $M_p$ alleen priem kunnen zijn als $p$ ook een priemgetal is, zijn er mersennegetallen $M_p$ die geen priemgetal zijn, terwijl $p$ dat wel is.

Het kleinste tegenvoorbeeld is het mersennegetal

$M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89$

Het ontbreken van een duidelijke regel om te bepalen of een gegeven mersennegetal een priemgetal is maakt de zoektocht naar mersennepriemgetallen een interessante taak, die, aangezien mersennegetallen zeer snel groeien, heel snel zeer moeilijk wordt. De Lucas-Lehmertest voor mersennegetallen is een efficiënte priemgetaltest, die wordt gebruikt om te bepalen of een mersennegetal ook een mersennepriemgetal is. Deze test is eenvoudiger uit te voeren dan testen voor andere typen van getallen. Het grootst bekende priemgetal is daarom vrijwel altijd een mersennepriemgetal.

Perfecte getallen en mersennepriemgetallen

Er is een verband tussen mersennepriemgetallen en perfecte getallen. Perfecte getallen zijn getallen waarbij de som van de delers gelijk is aan het getal zelf. Als namelijk $2^n-1$ een priemgetal is, dan is $2^{n-1}(2^n-1)$ een perfect getal. Het omgekeerde geldt ook: ieder, in ieder geval even, perfect getal kan worden geschreven als $2^{n-1}(2^n-1)$ waarbij $n$ een priemgetal is en $2^n-1$ een mersennepriemgetal.

Voorbeeld: voor $n=3$ geldt dat $2^n-1=7$ een priemgetal is, en $2^{n-1}(2^n-1)=2^2(2^3-1)=4\times 7=28$ een perfect getal is.

Toepassingen van mersennepriemgetallen liggen in beveiliging van gegevens met behulp van encryptie en in het genereren van toevalsgetallen, dat gaat met de mersennetwister.

Bekende mersennepriemgetallen

Er zijn op dit moment 52 mersennepriemgetallen bekend, het laatste en het grootste is in oktober 2024 gevonden.

naam Mn	getal	datum van ontdekking	ontdekt door
M52	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	12 oktober 2024	L Durant met GIMPS
M51	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	7 december 2018	P Laroche met GIMPS
M50	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	26 december 2017	J Pace met GIMPS
M49	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	7 januari 2016	C Cooper met GIMPS
M48	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	25 januari 2013	C Cooper met GIMPS
M47	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	12 april 2009	OM Strindmo met GIMPS
M46	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	6 september 2008	H-M Elvenich met GIMPS
M45	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	23 augustus 2008	Universiteit van Californië - Los Angeles met GIMPS
M44	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	4 september 2006	C Cooper en S Boone met GIMPS
M43	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	15 december 2005	C Cooper en S Boone met GIMPS
M42	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	28 februari 2005	M Nowak in samenwerking, Duitsland
M41	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	15 mei 2004	J Findley in samenwerking, Verenigde Staten
M40	Sjabloon:Nowrap met Sjabloon:Nowrap cijfers	17 november 2003	M Shafer in samenwerking, Verenigde Staten
M39	Sjabloon:Nowrap	14 november 2001	M Cameron in samenwerking, Canada
M38	Sjabloon:Nowrap	1 juni 1999	N Hajratwala in samenwerking, Verenigde Staten
M37	Sjabloon:Nowrap	27 januari 1998	R Clarkson in samenwerking, Verenigde Staten
M36	Sjabloon:Nowrap	24 augustus 1997	G Spence in samenwerking, Verenigd Koninkrijk
M35	Sjabloon:Nowrap	november 1996	J Armengaud in samenwerking, Frankrijk
M34	Sjabloon:Nowrap	1996	D Slowinski en P Gage
M33	Sjabloon:Nowrap	1994	D Slowinski en P Gage
M32	Sjabloon:Nowrap	1992	D Slowinski en P Gage
M31	Sjabloon:Nowrap	1988	D Slowinski
M30	Sjabloon:Nowrap	1985	D Slowinski
M29	Sjabloon:Nowrap	1983	W Colquitt en L Welsh
M28	Sjabloon:Nowrap	1982	D Slowinski
M26, M27	Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap	1979	LC Noll
M25	Sjabloon:Nowrap	1978	LC Noll en L Nickel
M24	Sjabloon:Nowrap	1971	B Tuckerman
M21 - M23	Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap	1963	DB Gillies
M19, M20	Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap	1961	A Hurwitz
M18	Sjabloon:Nowrap	1957	H Riesel
M13 - M17	2521−1, 2607−1, Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap, Sjabloon:Nowrap	1952	RM Robinson
M1 - M12	22−1, 23−1, 25−1, 27−1, 213−1, 217−1 219−1, 231−1, 261−1, 289−1, 2107−1, 2127−1	voor 1915	Oud-Griekse wiskunde, Pietro Cataldi, Leonhard Euler, I Pervushin, RE Powers, Édouard Lucas