Zweving

Onder een zweving wordt verstaan de resultante van het superponeren (samenvoegen) van twee trillingen met slechts een klein verschil in frequentie. Het is daarmee een bijzonder geval van interferentie. Zwevingen treden onder meer op in de signaalverwerking wanneer van twee signalen de frequenties dicht bij elkaar liggen. Zweving kan optreden bij alle golven waarvoor het superpositieprincipe geldt, zoals bij geluidsgolven en elektromagnetische golven.

Wiskundige beschrijving

Afleiding van formules voor de zwevingsfrequentie

Voorbeeld van het zweven van twee signalen.
Boven: de signalen met frequenties fSjabloon:Sub (blauw) en fSjabloon:Sub (magenta).
Onder: De zweving, ontstaan door het optellen (superponeren) van de boven weergegeven signalen. De blauwe lijn toont het gemiddelde van de beide frequenties en de omhullende in magenta de halve verschilfrequentie van de beide signalen.

Zij

ySjabloon:Sub = de sinusvormige trillingen 1 en 2;
fSjabloon:Sub = de frequentie van de sinusvormige trillingen 1 en 2;
ASjabloon:Sub = de amplitude van de afzonderlijke trillingen (gelijk voor 1 en 2);
t = de tijd;
π = het getal pi (= 3,141592654...);
ySjabloon:Sub = het resulterende samengestelde signaal;
ASjabloon:Sub = de amplitude hiervan;
fSjabloon:Sub = de frequentie hiervan;
fSjabloon:Sub = de frequentie van de omhullende van het samengestelde signaal;
fSjabloon:Sub = de zwevingsfrequentie.

We beschouwen twee in dezelfde richting trillende harmonische trillingen met een klein frequentieverschil:

y_{1} (t) = A_{1} \sin (2 π f_{1} t)

en

y_{2} (t) = A_{2} \sin (2 π f_{2} t)

Ter vereenvoudiging nemen we aan dat beide trillingen dezelfde amplitude hebben:

A_{1} = A_{2} = A

De samengestelde trilling wordt dan:

y_{R} = A (\sin (2 π f_{1} t) + \sin (2 π f_{2} t))

.

Met de formules van Simpson kan dit worden herleid tot:

y_{R} = 2 A \sin (2 π \frac{f_{1} + f_{2}}{2} t) \cdot \cos (2 π \frac{f_{1} - f_{2}}{2} t)

Dit betekent dat de frequentie van het resulterende zwevingssignaal het gemiddelde is van de frequenties van de samenstellende signalen (het sinuslid in de vergelijking, zie fSjabloon:Sub hierna), en dat de resulterende amplitude in de tijd varieert (de cosinusfactor in de formule, zie fSjabloon:Sub en fSjabloon:Sub hierna).

Nu geldt:

f_{R} = \frac{f_{1} + f_{2}}{2}

Men vindt dus fSjabloon:Sub = fSjabloon:Sub – fSjabloon:Sub ; dit is de frequentie van de cosinusfactor. Daar het voor de omhullende – dat wil zeggen voor hoorbare amplitudeschommelingen – niet uitmaakt of de cosinusfactor positief of negatief is, is de hoorbare frequentie van de amplitudeschommelingen tweemaal zo hoog. Deze zogenaamde zwevingsfrequentie is gedefinieerd als:

f_{z w e v i n g} = | f_{1} - f_{2} |

en zijn waarde is aanzienlijk kleiner dan fSjabloon:Sub . De daaruit volgende zwevingsperiode TSjabloon:Sub = 1 / fSjabloon:Sub is het tijdsverschil tussen twee punten met de kleinste amplitude (knopen) van de zwevingsfunctie ySjabloon:Sub .

Onzuivere zweving

Als de amplitudes van de beide trillingen niet gelijk zijn, spreekt men van een zogenaamde onzuivere zweving. Daarbij ziet de cosinusfactor er iets anders uit, en er treden geen stilteperiodes op (wanneer de resulterende amplitude van de zuivere zweving door nul gaat). Verder schommelt de zwevingsduur, dat wil zeggen dat de zwevingsfrequentie (de sinusfactor in bovenstaande afleiding) niet constant is.

Akoestische zwevingen

In de akoestiek kan men zwevingen duidelijk horen: wanneer twee tonen samenklinken waarvan de frequenties net niet gelijk zijn, hoort men een toon waarvan de frequentie het gemiddelde is van beide gesuperponeerde tonen. Deze toon is gemoduleerd, dat wil zeggen dat zijn geluidssterkte schommelt, met de zogenaamde zwevingsfrequentie, die gelijk is aan het verschil tussen de frequenties van de beide tonen.

Wordt het frequentieverschil groter, dan kan het oor de steeds sneller wordende geluidssterkteschommelingen niet meer volgen en hoort men een toon met een ruwe klankkleur, die zich bij verdere toename van de verschilfrequentie in twee aparte tonen opsplitst. Wanneer de verschilfrequentie de gehoordrempel van ca. Sjabloon:Nowrap overschrijdt, wordt hij als verschiltoon hoorbaar.

Dit wordt gedemonstreerd door het volgende Sjabloon:Audio: op een sinusvormige toon met een constante frequentie van Sjabloon:Nowrap is een tweede sinustoon gesuperponeerd, waarvan de frequentie van Sjabloon:Nowrap naar Sjabloon:Nowrap oploopt.

Hoe de zweving van een interval (hier van een halve toon) wordt waargenomen, hangt zeer sterk af van de hoogte, zoals uit het volgende voorbeeld duidelijk wordt:

Voorbeeld: Gespeeld worden de (sinusvormige) tonen van de grote tot het driegestreepte octaaf, eerst afzonderlijk en dan samen. De frequentie van de f is in elke octaaf 6,6% hoger dan die van de e.

in Hz	E 82,5	F 88	E F	e 165	f 176	e f	e’ 330	f’ 352	e’ f’	e’’ 660	f’’ 704	e’’ f’’	e’’’ 1320	f’’’ 1408	e’’’ f’’’
	alleen	alleen	samen	alleen	alleen	samen	alleen	alleen	samen	alleen	alleen	samen	alleen	alleen	samen
Sjabloon:Audio

Geluidsvoorbeelden

Zwevingen bij superpositie van twee tonen van Sjabloon:Nowrap en Sjabloon:Nowrap:

Met zuivere sinustrillingen	Met 100% grondtoon, 50% eerste boventoon en 25% tweede boventoon

Sjabloon:Audio	Sjabloon:Audio

Twee chromatische halve tonen (frequentieverschil 4%) samenklinkend:

	Zuivere sinustonen: het zweven is duidelijk te horen. Nauwelijks aparte tonen hoorbaar Sjabloon:Audio	Als orgelregister met boventonen (grondtoon: 100%, boventonen: 75%, 50%, 30%, 15%, 10% en 5%). Hier hoort men bij het samenklinken duidelijk twee gescheiden tonen (men kan ze nazingen). Sjabloon:Audio

Zwevingen bij onzuivere intervallen

Bij onzuiver geïntoneerde intervallen kan men de zwevingen van de boventonen als volgt berekenen:

octaven	$f_{z w e v i n g} = \| 2 \cdot f_{1} - f_{2} \|$
kwinten:	$f_{z w e v i n g} = \| 3 \cdot f_{1} - 2 \cdot f_{2} \|$
grote terts:	$f_{z w e v i n g} = \| 5 \cdot f_{1} - 4 \cdot f_{2} \|$

Bij de gewoonlijk buiten het kritieke gebied liggende intervallen hoort men een zweving wanneer twee duidelijk aanwezige boventonen of een boventoon en grondtoon dicht bij elkaar liggen.

Zoals men in de volgende golfbeelden kan zien, is bij zuivere sinustonen nauwelijks zweving waar te nemen (de amplituden veranderen nauwelijks), bij een groot aandeel aan boventonen is echter duidelijk zweving te horen.

Sjabloon:Audio

Zwevingen bij intervallen spelen de reine, de middentoon-, de welgetempereerde en de gelijkzwevende stemming een grote rol. Zo hoort men bijvoorbeeld bij een zuivere terts geen zweving, bij een gelijkzwevende een aanzienlijke – als wrijvend ervaren – zweving. De zwevingen van de middentoonstemming zijn zo zwak dat zij niet als wanklank worden ervaren.

Akoestisch bedrog?

De auditieve waarneming van zwevingen berust in het algemeen niet op een akoestisch bedrog, maar op reële fysische processen. Dat geldt niet voor de zogenaamde binaural beats, waarbij door middel van een koptelefoon aan elk oor een van twee verschillende frequenties worden aangeboden en de waarneming van zwevingen pas bij de signaalverwerking in de hersenen ontstaat.

Toepassingen

Het verschijnsel zwevingen wordt op allerlei gebieden toegepast. Hier volgen enkele voorbeelden.

Technische toepassingen

In een eenvoudige AM-radio-ontvanger wordt een sinusvormig signaal gegeneerd dat wordt ingesteld op de draaggolffrequentie van de zender waarop men wil afstemmen.^[1] Hierop wordt het ontvangen antennesignaal gesuperponeerd, waardoor een zweving tussen beide signalen ontstaat. Dit verschilsignaal is precies het gewenste audiosignaal, dat naar de audioversterker kan worden gevoerd.

Het moiré-effect kan beschouwd worden als een soort ruimtelijke variant op de zweving. Bij zwevingen gaat het normaliter om signalen die als functie van de tijd variëren. Bij het moiré-effect variëren de signalen als functie van de plaats. Diverse meetmethodes maken hier gebruik van. Een bekend voorbeeld is de nonius.

Toepassingen in de muziek

Musici gebruiken zwevingen vaak om muziekinstrumenten – zoals snaarinstrumenten, maar ook andere – op het gehoor te stemmen. Instrumenten kunnen hiermee ten opzichte van elkaar, of ten opzichte van een stemvork of een toongenerator worden gestemd.

In de muziekuitvoering kunnen zwevingen worden gebruikt om een verlevendigend klankeffect te produceren, zoals het zogenaamd tremolo- of choruseffect, of als speciaal orgelregister in pijporgels. De Lesliespeaker gebruikt het dopplereffect om een zweving te genereren. Hierbij wordt op de constante uitgangstoon een in toonhoogte vibrerende toon gesuperponeerd.

Daarentegen wordt een zweving onaangenaam storend als twee instrumenten met bijna sinusvormige tonen (zoals fluiten) dicht bijeen liggende tonen spelen – men zegt dan dat die tonen „schuren.” Bij unisono-samenspelen van twee beginnende blokfluitspelers kan bij extreme onzuiverheden zelfs een uiterste doordringende, diepe verschiltoon hoorbaar worden.

Zie ook

Externe links

Sjabloon:De Simulaties m.b.t. interferentie, zwevingen en lissajousfiguren voor twee staande golven

Sjabloon:Appendix

↑ Dit is een sterk vereenvoudigde voorstelling; in werkelijkheid geschiedt dit in meer stappen.

[1] Dit is een sterk vereenvoudigde voorstelling; in werkelijkheid geschiedt dit in meer stappen.

[1]

Zweving

Inhoud

Wiskundige beschrijving