Zestien-kwadratenidentiteit van Pfister

In de algebra is de zestien-kwadratenidentiteit van Pfister een niet-bilineaire identiteit van de vorm

$\begin{array}{cc}& (x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+\cdots +x_{16}^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+\cdots +y_{16}^2)\\ & =z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2+\cdots +z_{16}^2\end{array}$

Deze identiteit werd in de jaren 1960 voor het eerst bewezen door Hans Zassenhaus en Wolfgang Eichhorn. en ongeveer tegelijkertijd werd de identiteit onafhankelijk daarvan door Albrecht Pfister bewezen. Er zijn verschillende versies, een beknopte luidt als volgt:

$z_1=x_1{y}_1-x_2{y}_2-x_3{y}_3-x_4{y}_4-x_5{y}_5-x_6{y}_6-x_7{y}_7-x_8{y}_8+u_1{y}_9-u_2{y}_{10}-u_3{y}_{11}-u_4{y}_{12}-u_5{y}_{13}-u_6{y}_{14}-u_7{y}_{15}-u_8{y}_{16}$

$z_2=x_2{y}_1+x_1{y}_2+x_4{y}_3-x_3{y}_4+x_6{y}_5-x_5{y}_6-x_8{y}_7+x_7{y}_8+u_2{y}_9+u_1{y}_{10}+u_4{y}_{11}-u_3{y}_{12}+u_6{y}_{13}-u_5{y}_{14}-u_8{y}_{15}+u_7{y}_{16}$

$z_3=x_3{y}_1-x_4{y}_2+x_1{y}_3+x_2{y}_4+x_7{y}_5+x_8{y}_6-x_5{y}_7-x_6{y}_8+u_3{y}_9-u_4{y}_{10}+u_1{y}_{11}+u_2{y}_{12}+u_7{y}_{13}+u_8{y}_{14}-u_5{y}_{15}-u_6{y}_{16}$

$z_4=x_4{y}_1+x_3{y}_2-x_2{y}_3+x_1{y}_4+x_8{y}_5-x_7{y}_6+x_6{y}_7-x_5{y}_8+u_4{y}_9+u_3{y}_{10}-u_2{y}_{11}+u_1{y}_{12}+u_8{y}_{13}-u_7{y}_{14}+u_6{y}_{15}-u_5{y}_{16}$

$z_5=x_5{y}_1-x_6{y}_2-x_7{y}_3-x_8{y}_4+x_1{y}_5+x_2{y}_6+x_3{y}_7+x_4{y}_8+u_5{y}_9-u_6{y}_{10}-u_7{y}_{11}-u_8{y}_{12}+u_1{y}_{13}+u_2{y}_{14}+u_3{y}_{15}+u_4{y}_{16}$

$z_6=x_6{y}_1+x_5{y}_2-x_8{y}_3+x_7{y}_4-x_2{y}_5+x_1{y}_6-x_4{y}_7+x_3{y}_8+u_6{y}_9+u_5{y}_{10}-u_8{y}_{11}+u_7{y}_{12}-u_2{y}_{13}+u_1{y}_{14}-u_4{y}_{15}+u_3{y}_{16}$

$z_7=x_7{y}_1+x_8{y}_2+x_5{y}_3-x_6{y}_4-x_3{y}_5+x_4{y}_6+x_1{y}_7-x_2{y}_8+u_7{y}_9+u_8{y}_{10}+u_5{y}_{11}-u_6{y}_{12}-u_3{y}_{13}+u_4{y}_{14}+u_1{y}_{15}-u_2{y}_{16}$

$z_8=x_8{y}_1-x_7{y}_2+x_6{y}_3+x_5{y}_4-x_4{y}_5-x_3{y}_6+x_2{y}_7+x_1{y}_8+u_8{y}_9-u_7{y}_{10}+u_6{y}_{11}+u_5{y}_{12}-u_4{y}_{13}-u_3{y}_{14}+u_2{y}_{15}+u_1{y}_{16}$

$z_9=x_9{y}_1-x_{10}{y}_2-x_{11}{y}_3-x_{12}{y}_4-x_{13}{y}_5-x_{14}{y}_6-x_{15}{y}_7-x_{16}{y}_8+x_1{y}_9-x_2{y}_{10}-x_3{y}_{11}-x_4{y}_{12}-x_5{y}_{13}-x_6{y}_{14}-x_7{y}_{15}-x_8{y}_{16}$

$z_{10}=x_{10}{y}_1+x_9{y}_2+x_{12}{y}_3-x_{11}{y}_4+x_{14}{y}_5-x_{13}{y}_6-x_{16}{y}_7+x_{15}{y}_8+x_2{y}_9+x_1{y}_{10}+x_4{y}_{11}-x_3{y}_{12}+x_6{y}_{13}-x_5{y}_{14}-x_8{y}_{15}+x_7{y}_{16}$

$z_{11}=x_{11}{y}_1-x_{12}{y}_2+x_9{y}_3+x_{10}{y}_4+x_{15}{y}_5+x_{16}{y}_6-x_{13}{y}_7-x_{14}{y}_8+x_3{y}_9-x_4{y}_{10}+x_1{y}_{11}+x_2{y}_{12}+x_7{y}_{13}+x_8{y}_{14}-x_5{y}_{15}-x_6{y}_{16}$

$z_{12}=x_{12}{y}_1+x_{11}{y}_2-x_{10}{y}_3+x_9{y}_4+x_{16}{y}_5-x_{15}{y}_6+x_{14}{y}_7-x_{13}{y}_8+x_4{y}_9+x_3{y}_{10}-x_2{y}_{11}+x_1{y}_{12}+x_8{y}_{13}-x_7{y}_{14}+x_6{y}_{15}-x_5{y}_{16}$

$z_{13}=x_{13}{y}_1-x_{14}{y}_2-x_{15}{y}_3-x_{16}{y}_4+x_9{y}_5+x_{10}{y}_6+x_{11}{y}_7+x_{12}{y}_8+x_5{y}_9-x_6{y}_{10}-x_7{y}_{11}-x_8{y}_{12}+x_1{y}_{13}+x_2{y}_{14}+x_3{y}_{15}+x_4{y}_{16}$

$z_{14}=x_{14}{y}_1+x_{13}{y}_2-x_{16}{y}_3+x_{15}{y}_4-x_{10}{y}_5+x_9{y}_6-x_{12}{y}_7+x_{11}{y}_8+x_6{y}_9+x_5{y}_{10}-x_8{y}_{11}+x_7{y}_{12}-x_2{y}_{13}+x_1{y}_{14}-x_4{y}_{15}+x_3{y}_{16}$

$z_{15}=x_{15}{y}_1+x_{16}{y}_2+x_{13}{y}_3-x_{14}{y}_4-x_{11}{y}_5+x_{12}{y}_6+x_9{y}_7-x_{10}{y}_8+x_7{y}_9+x_8{y}_{10}+x_5{y}_{11}-x_6{y}_{12}-x_3{y}_{13}+x_4{y}_{14}+x_1{y}_{15}-x_2{y}_{16}$

$z_{16}=x_{16}{y}_1-x_{15}{y}_2+x_{14}{y}_3+x_{13}{y}_4-x_{12}{y}_5-x_{11}{y}_6+x_{10}{y}_7+x_9{y}_8+x_8{y}_9-x_7{y}_{10}+x_6{y}_{11}+x_5{y}_{12}-x_4{y}_{13}-x_3{y}_{14}+x_2{y}_{15}+x_1{y}_{16}$

waar de $u_i$ gelijk zijn aan,

$u_1=\frac{1}{c}((a{x}_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_9-2x_1(b{x}_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_2=\frac{1}{c}((x_1^2+a{x}_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{10}-2x_2(x_1{x}_9+b{x}_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_3=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+a{x}_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{11}-2x_3(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+b{x}_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_4=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+x_3^2+a{x}_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{12}-2x_4(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+b{x}_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_5=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+a{x}_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{13}-2x_5(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+b{x}_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_6=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+a{x}_6^2+x_7^2+x_8^2)x_{14}-2x_6(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+b{x}_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_7=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+a{x}_7^2+x_8^2)x_{15}-2x_7(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+b{x}_7{x}_{15}+x_8{x}_{16}))$

$u_8=\frac{1}{c}((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+a{x}_8^2)x_{16}-2x_8(x_1{x}_9+x_2{x}_{10}+x_3{x}_{11}+x_4{x}_{12}+x_5{x}_{13}+x_6{x}_{14}+x_7{x}_{15}+b{x}_8{x}_{16}))$

en

$a=-1,b=0,c=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2+x_6^2+x_7^2+x_8^2.$

De $u_i$ dan gehoorzamen aan

$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2+u_5^2+u_6^2+u_7^2+u_8^2=x_9^2+x_{10}^2+x_{11}^2+x_{12}^2+x_{13}^2+x_{14}^2+x_{15}^2+x_{16}^2$

De identiteit laat dus zien dat het product van twee sommen van zestien kwadraten in het algemeen de som is van zestien rationale kwadraten. Als alle $x_i,y_i$ met $i>8$ gelijk worden gesteld aan nul, dan reduceert deze identiteit tot de acht-kwadratenidentiteit van Degen.

Er bestaat geen zestien kwadratenidentiteit waarbij alleen bilineaire functies betrokken zijn aangezien de stelling van Hurwitz laat zien dat een identiteit van de vorm

$(x_1^2+x_2^2+x_3^2+\cdots +x_n^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+\cdots +y_n^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+\cdots +z_n^2$

met de $z_i$ bilineair functies van de $x_i$ en $y_i$ alleen mogelijk is voor n ∈ {1, 2, 4, 8}.

De meer algemenere stelling van Pfister (1965) laat echter zien dat als de $z_i$ rationale functies zijn van slechts één verzameling van variabelen, (dus een noemer heeft), dat het dan mogelijk is voor alle $n=2^m$. Er bestaan dus ook niet-bilineaire versies van de vier-kwadratenidentiteit van Euler en de acht-kwadratenidentiteit van Degen.

Zie ook

• Identiteit van Brahmagupta-Fibonacci
• Vier-kwadratenidentiteit van Euler
• Acht-kwadratenidentiteit van Degen
• Sedenion

Externe link

• Sjabloon:En Zestien-kwadratenidentiteit van Pfister