Zèta-verdeling

In de kansrekening en de statistiek is de zèta-verdeling een discrete kansverdeling op de natuurlijke getallen ongelijk nul, die toepassing vindt in de taalwetenschap.

De zèta-verdeling met parameter $a>1$ wordt gegeven door de kansfunctie:

$p(n)=\frac{1}{\zeta (a)}{n}^{-a}$, voor $n=1,2,3,\dots$

Daarin is

$\zeta (a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^a}$,

de riemann-zèta-functie, gedefinieerd voor $a>1$.

De termen zèta-verdeling en zipfverdeling worden soms door elkaar gebruikt, hoewel ze niet identiek zijn. Een zipfverdeling gedefinieerd voor alle gehele waarden is een zèta-verdeling.

Momenten

Als de stochastische variabele $X$ een zèta-verdeling met parameter $a$ heeft, wordt het $k$-de moment gegeven door:

$\mathrm{E}(X^k)=\frac{1}{\zeta (a)}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{a-k}}$

Deze reeks is alleen convergent voor $a-k>1$, zodat

$\mathrm{E}(X^k)=\{\begin{array}{cc}\zeta (a-k)/\zeta (a)& \text{ voor }k<a-1\\ \mathrm{\infty }& \text{ voor }k\ge a-1\end{array}$

Zie ook

• Paretoverdeling