Wortelgemiddelde

Het wortelgemiddelde, ook veralgemeend gemiddelde of höldergemiddelde, genoemd naar Otto Hölder, is een centrummaat. Het wortelgemiddelde met macht $p$ van een rijtje van $n$ getallen wordt als volgt berekend: verhef alle getallen tot de macht $p$, bepaal het rekenkundige gemiddelde van deze $p$-de machten en neem uit dit gemiddelde de p-de-machtswortel. Behalve het rekenkundige gemiddelde ($p=1$) zijn ook het meetkundig gemiddelde ($p=0$), het kwadratische gemiddelde ($p=2$) en het harmonische gemiddelde ($p=-1$) wortelgemiddelden.

Het rijtje getallen waar het om gaat is op te vatten als een vector. In een coördinatenruimte in $n$ dimensies, dat kan een reële of een complexe coördinatenruimte zijn, bepaalt het wortelgemiddelde van de absolute waarden van de coördinaten van deze vector voor $p\ge 1$ een norm voor die vector. L^p-ruimten zijn zo gedefinieerd.

Definitie

Voor het reële getal $p\ne 0$ is het $p$-de-machtswortelgemiddelde van de getallen $a_1,a_2,\dots ,a_n$ gedefinieerd. De getallen mogen niet negatief zijn.

$W_p(a_1,a_2,\dots ,a_n)={\left(\frac{\sum _{k=1}^n{a}_k^p}{n}\right)}^{1/p}={\left(\frac{a_1^p+a_2^p+\cdots +a_n^p}{n}\right)}^{1/p}$.

Hoewel het voorschrift van sommige gemiddelden niet meteen hetzelfde is, worden zij toch als wortelgemiddelde gerekend. Deze wortelgemiddelden zijn in de limiet voor $p\to 0,p\to -\mathrm{\infty }$ en $p\to \mathrm{\infty }$ gedefinieerd:

$W_0(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\sqrt[n]{a_1{a}_2\dots a_n}$, het meetkundige gemiddelde

$W_{-\mathrm{\infty }}(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\min \{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$, het minimum

$W_{\mathrm{\infty }}(a_1,a_2,\dots ,a_n)=\max \{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$, het maximum

Voorbeelden

• $p=1$ geeft het rekenkundige gemiddelde: $W_1=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$
• $p=2$ geeft het kwadratische gemiddelde: $W_2=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}{n}}$
• $p=-1$ geeft het harmonische gemiddelde: $W_{-1}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}$

Eigenschappen

• Het wortelgemiddelde is homogeen, dat wil zeggen dat voor $\lambda >0$ geldt:

$W_p(\lambda a_1,\lambda a_2,\dots ,\lambda a_n)=\lambda W_p(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

• De berekening van een wortelgemiddelde kan in blokken van gelijke grootte worden opgesplitst:

$W_p(a_1,a_2,\dots ,a_{mk})=W_p(W_p(a_1,\dots ,a_k),W_p(a_{k+1},\dots ,a_{2k}),\dots ,W_p(a_{(m-1)k+1},\dots ,x_{mk}))$

• Algemeen geldt voor $-\mathrm{\infty }\le s\le t\le \mathrm{\infty }$:

$W_s(a_1,a_2,\dots ,a_n)\le W_t(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

• Het wortelgemiddelde van $n$ dezelfde getallen is gelijk aan dat getal:

$W_p(a,a,\dots ,a)=a$

• Als de wortelgemiddelden voor twee verschillende machten aan elkaar gelijk zijn, dan zijn alle getallen aan elkaar gelijk.

$s\ne t\wedge W_s(a_1,a_2,\dots ,a_n)=W_t(a_1,a_2,\dots ,a_n)⟹a_1=a_2=\dots =a_n$

Websites

• MathWorld. Power Mean.