Vrije groep

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een vrije groep een groep $G$ die een deelverzameling $S$ bevat zodat elk element van $G$ op precies een manier als gereduceerd woord van elementen van $S$ en hun inversen kan worden geschreven. Een soort groep die op een vrije groep lijkt, maar toch anders is, is een vrije abelse groep.

Definitie

Een groep $G$ met groepoperatie $\cdot$ is vrij over een deelverzameling $S\subseteq G$ als elk element $a\in G$ op precies een manier geschreven kan worden als een product $s_1^{x_1}\dots s_n^{x_n}=a$, waarbij voor alle $i\le n$ geldt dat $s_i\in S$ en $x_i\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$, en voor alle $i<n$ dat $s_i\ne s_{i+1}$. Zo'n product wordt in deze context een gereduceerd woord genoemd. Merk op dat het lege product ($n=0$) hierbij het neutrale element ten opzichte van de groepoperatie representeert.

De machtnotatie is als volgt gedefinieerd:

• Als $x>0$, dan geldt $s^x=\underset{x\text{ keer}}{\underbrace{s\cdot \dots \cdot s}}$.
• Als $x<0$, dan geldt $s^x=\underset{-x\text{ keer}}{\underbrace{s^{-1}\cdot \dots \cdot s^{-1}}}$.

Voorbeelden

• $(\mathbb{Z},+)$ is een vrije groep over $S=\{1\}$.
• De triviale groep $(\{0\},+)$, die alleen uit het neutrale element bestaat, is vrij over $S=\varnothing$.