Voetpuntskromme

Meetkundige constructie van de voetpuntskromme

In de meetkunde is de voetpuntskromme van een vlakke kromme $C$ ten opzichte van een vast punt $P$, de meetkundige plaats van punten $X$ waarvoor geldt dat het lijnstuk $PX$ loodrecht is ten opzichte van een raaklijn $T$ aan $C$ die door $X$ gaat.

Anders gezegd: Als $T$ een raaklijn aan de kromme $C$ is, dan is er een uniek punt $X$ op $T$ waarin $PX$ loodrecht staat op $T$. Dat punt is een voetpunt en de kromme die bestaat uit alle voetpunten is de voetpuntskromme.

Wanneer een kromme $K$ de voetpuntskromme is van een kromme $C$, dan is $C$ de negatieve voetpuntskromme van $K$.

Voorbeelden

Constructie van de voetpuntskromme van een hyperbool met het middelpunt als voetpunt geeft een lemniscaat.

Enkele voorbeelden van krommen met hun voetpuntskrommen:

• van een lijn, voor een willekeurig punt, bestaat uit een enkel voetpunt, namelijk het snijpunt van de loodlijn uit dat punt op de lijn.
• van een cirkel met als vast punt
  • het middelpunt van de cirkel, is die cirkel zelf,
  • een punt in de cirkel maar niet het middelpunt, is een limaçon en
  • een punt op de cirkelomtrek is een cardioïde,
• van een ellips met als vast punt een brandpunt is een cirkel,
• van een hyperbool met als vast punt
  • een brandpunt is een cirkel,
  • het middelpunt is een lemniscaat van Bernoulli,
• van een parabool met als vast punt
  • het brandpunt is een lijn en
  • de top van de parabool is een cissoïde van Diocles.

Websites

• MathWorld. Pedal Curve.