Vermoeden van Fermat-Catalan

In de getaltheorie combineert het vermoeden van Fermat-Catalan de ideeën van de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Catalan, vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking $a^m+b^n=c^k$ slechts eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}<1$, met verschillende waardes van het co-priem tripel $(a^m,b^n,c^k)$.

In 2014 waren er 10 bekend:

$1^m+2^3=3^2$

$2^5+7^2=3^4$

$13^2+7^3=2^9$

$2^7+17^3=71^2$

$3^5+11^4=122^2$

$33^8+1549034^2=15613^3$

$1414^3+2213459^2=65^7$

$9262^3+15312283^2=113^7$

$17^7+76271^3=21063928^2$

$43^8+96222^3=30042907^2$

De eerste van deze (1^m+2³=3²) is de enige oplossing waarbij een van a, b of c gelijk aan 1 is, zo zegt het Vermoeden van Catalan, dat in 2002 bewezen is door Preda Mihăilescu. Hoewel deze vergelijking oneindig veel oplossingen geeft zolang m maar groter is dan 6. Dit is echter maar een oplossing aangezien dit geen verschillende waardes a^m, bⁿ en c^k zijn

Als het ABC-vermoeden vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar.