Uniforme convergentie

Sjabloon:Legenda-lijnSjabloon:Legenda-lijn

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is uniforme convergentie een sterkere vorm van convergentie dan puntsgewijze convergentie. Een rij $(f_n:V\to ℝ)$ van functies convergeert uniform op $V$naar een limietfunctie $f$ als de snelheid van de convergentie voor alle $x\in V$ dezelfde is.

Definitie

De rij reëelwaardige functies $(f_n:V\to ℝ)$ met $n\in \mathbb{N}$ op de verzameling $V$ heet uniform convergent met limietfunctie $f:V\to ℝ$, indien er voor iedere $\epsilon >0$ een natuurlijk getal $N$ bestaat zodanig dat voor alle $x\in V$ en alle $n\ge N$ geldt dat $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.

Alternatief geldt dat $(f_n)$ dan en slechts dan uniform naar $f$ convergeert als

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{x\in V}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=0$.