Tripolaire coördinaten

Tripolaire coördinaten zijn coördinaten voor het platte vlak ten opzichte van een gegeven driehoek. De tripolaire coördinaten van een punt $P$ worden gevormd door het drietal $(AP,BP,CP)$, maar tripolaire coördinaten worden maar weinig gebruikt.

Relatie met lengtes zijden

Leonhard Euler heeft de volgende relatie aangetoond tussen tripolaire coördinaten $(f,g,h)$ van een punt en de lengtes van de zijden $a,b$ en $c$:

$(-a^2+g^2+h^2{)}^2{f}^2+(f^2-b^2+h^2{)}^2{g}^2+(f^2+g^2+c^2{)}^2{h}^2-(-a^2+g^2+h^2)(f^2-b^2+h^2)(f^2+g^2+c^2)-4f^2{g}^2{h}^2=0$

Cirkels en lijnen

De vergelijking $l{f}^2+m{g}^2+n{h}^2+p=0$, is een lijn als $l+m+n=0$ en anders een cirkel.

• Als de vergelijking een cirkel is, dan heeft het middelpunt van de cirkel barycentrische coördinaten $(l:m:n)$.
• Als de vergelijking een lijn is, dan staat deze lijn loodrecht op de lijn $[l:m:n]$ in barycentrische coördinaten.

Gegeven verhouding

Het aantal punten dat tripolaire coördinaten $(f,g,h)$ heeft, die aan een gegeven verhouding $f:g:h=x:y:z$ voldoen, is er afhankelijk van of de getallen $ax,by$ en $cz$:

• de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er twee dergelijke punten,
• de zijden vormen van een ontaarde driehoek, dan is er een zo'n punt,
• niet de zijden vormen van een driehoek, dan zijn er geen punten die aan de voorwaarde voldoen.