Stelling van Liouville

Volgens de stelling van Liouville is elke begrensde complexe analytische functie constant. Dit betekent: Als voor een holomorfe functie $f$ een reëel getal $M$ bestaat zo dat $|f(z)|\le M$ voor elke $z\in ℂ$, dan is $f$ een constante functie.

De stelling van Liouville laat zien wat een sterke eigenschap holomorfe differentieerbaarheid voor een complexe functie is. De stelling kan onder andere in het bewijs van de hoofdstelling van de algebra worden gebruikt. De stelling is naar de Franse wiskundige Joseph Liouville (1809-1882) genoemd.

Uitbreiding

Zij $f(z)$ een gehele functie waarvoor geldt dat er een $C>0$ en $R>0$ bestaan waarvoor geldt dat $|f(z)|<C|z{|}^p$ als $|z|>R$, dan volgt daaruit op dezelfde manier als voorgaande stelling dat:

$f^{(n)}(0)\le C\frac{n!}{R^n}{R}^p$

Zij nu $n>p$ en laat men $R\to \mathrm{\infty }$ dan is $f^{(n)}(0)=0$. Waaruit volgt dat de taylorexpansie van $f(z)$ gelijk is aan:

$f(z)=\sum _{k=0}^p{a}_k{z}^k$

Met andere woorden de functie $f(z)$ is een polynoom van de graad $p$.