Stelling van Green

De stelling van Green is een wiskundige stelling die een verband legt tussen een kringintegraal over een enkelvoudige gesloten kromme in twee dimensies en een dubbelintegraal over het oppervlak dat door de kromme wordt omsloten. De stelling is naar de Britse natuurkundige George Green genoemd en vindt onder andere toepassing in de natuurkunde.

De stelling van Green komt overeen met de stelling van Stokes in twee dimensies. Beide stellingen hebben op dezelfde manier betrekking op een kringintegraal.

Stelling

Als $P$ en $Q$ continue functies zijn in een normaal gebied $D$ dat volledig behoort tot een open gebied in twee dimensies met continue partiële afgeleiden $\frac{\partial P(x,y)}{\partial y}$ en $\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}$, en $D$ wordt begrensd door een stuksgewijs gladde, enkelvoudige gesloten kromme $C$, doorlopen in tegenwijzerzin, dan geldt:

$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\oint }_C(P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y)$

Oppervlakte

Met $P=0$ en $Q=x$ en met $P=-y$ en $Q=0$ krijgen we voor de oppervlakte $A$ binnen de contour $C$, doorlopen in de richting tegen de klok in:

$A={\oint }_{C}x\mathrm{d}y=-{\oint }_{C}y\mathrm{d}x$

Een interessante technische toepassing is de planimeter, een meetinstrument om een oppervlakte te bepalen door het aftasten van de omtrek.