Stapelautomaat

Een stapelautomaat

Een stapelautomaat, ofwel een push-down-automaat (PDA), is een eindige automaat die gebruikmaakt van een stack. De klasse van formele talen die door stapelautomaten wordt geaccepteerd, is de klasse van contextvrije talen. Dat wil zeggen dat stapelautomaten even krachtig zijn als contextvrije grammatica's.

Formele Definitie

Formeel is een PDA een automaat $M$ met

$M=(Q,\mathrm{\Sigma },\mathrm{\Gamma },\delta ,q_0,F)$

met

$Q$ een eindige verzameling toestanden

$\mathrm{\Sigma }$ een eindige verzameling symbolen, het alfabet van de automaat geheten

$\mathrm{\Gamma }$ een eindige verzameling symbolen, het alfabet van de stack

$\delta$: $Q\times {\mathrm{\Sigma }}_{ϵ}\times {\mathrm{\Gamma }}_{ϵ}⟶𝒫(Q\times {\mathrm{\Gamma }}_{ϵ})$ een transitiefunctie

$q_0$ de begintoestand

$F\subseteq Q$ de verzameling accepterende toestanden

waarbij ${\mathrm{\Sigma }}_{ϵ}=\mathrm{\Sigma }\cup \{ϵ\}$ en ${\mathrm{\Gamma }}_{ϵ}=\mathrm{\Gamma }\cup \{ϵ\}$.

Een stapelautomaat accepteert een woord w, als w geschreven kan worden als $w_1{w}_2\dots w_n$, waarbij $w_i\in {\mathrm{\Sigma }}_{ϵ}$, als er een rij $r_0,\dots ,r_n$ van toestanden en een rij $s_0,\dots ,s_n$ van stapelinhouden ($s_i\in {\mathrm{\Gamma }}^{*}$) zijn, zo dat

• $r_0=q_0$ en $s_0=ϵ$;
• voor alle $0\le i\le n-1$ geldt: $(r_{i+1},\beta )\in \delta (r_i,w_{i+1},\alpha )$, waarbij $s_i=\alpha \omega$ en $s_{i+1}=\beta \omega$ voor een $\omega \in {\mathrm{\Gamma }}^{*}$;
• $r_n\in F$.

De taal van een stapelautomaat $M$, genoteerd als $L(M)$, is de verzameling van alle woorden die door $M$ geaccepteerd worden.

Voorbeeld

De stapelautomaat $M=(\{q_0,q_a,q_b,q_f\},\{a,b\},\{S,1\},\delta ,q_0,\{q_f\})$ met

• $\delta (q_0,a,ϵ)=\{(q_a,1)\}$
• $\delta (q_a,a,ϵ)=\{(q_a,1)\}$
• $\delta (q_a,b,1)=\{(q_b,ϵ)\}$
• $\delta (q_b,b,1)=\{(q_b,ϵ),(q_f,ϵ)\}$
• $\delta (q,x,y)=\mathrm{\varnothing }$ voor alle andere combinaties van $q\in Q$, $x\in {\mathrm{\Sigma }}_{ϵ}$ en $y\in {\mathrm{\Gamma }}_{ϵ}$

accepteert de contextvrije taal $\{a^n{b}^n\mid n\ge 1\}$.

Voor het woord $w=aabb$ hebben we bijvoorbeeld:

• $r_0=q_0,s_0=ϵ$
• $r_1=q_a,s_1=1$ (want $w_1=a$ en $(q_a,1)\in \delta (q_0,a,ϵ)$)
• $r_2=q_a,s_2=11$ (want $w_2=a$ en $(q_a,1)\in \delta (q_a,a,ϵ)$)
• $r_3=q_b,s_3=1$ (want $w_3=b$ en $(q_b,ϵ)\in \delta (q_a,b,1)$)
• $r_4=q_f,s_4=ϵ$ (want $w_4=b$ en $(q_f,ϵ)\in \delta (q_b,b,1)$)
• het woord wordt geaccepteerd omdat $q_f\in F$.