Sierpiński-kromme

Sierpiński-krommen zijn een recursief gedefinieerde rij van continue fractalen in het gesloten vlak. De basisvorm ervan is een vierkant, het eenheidsvierkant. Sierpiński-krommen zijn als eerste door de Poolse wiskundige Wacław Sierpiński geconstrueerd. Een Sierpiński-kromme $S_n$ heeft een oneindige lengte, maar toch een eindige oppervlakte. In de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ vullen Sierpiński-krommen het eenheidsvierkant volledig. Hun limietkromme, de Sierpinski-kromme, is daarom een voorbeeld van een ruimtevullende kromme. Omdat de Sierpiński-kromme ruimtevullend is, is de hausdorff-dimensie ervan in de limiet $n\to \mathrm{\infty }$ gelijk aan 2. De lengte $l_n$ van $S_n$ is

$l_n=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})2^n-\frac{1}{3}(2-\sqrt{2})\frac{1}{2^n}$

De euclidische lengte van $S_n$ neemt dus exponentieel met $n$ toe.

De limiet voor $n\to \mathrm{\infty }$ van het door $S_n$ ingesloten gebied is gelijk is aan $5/12$ van het eenheidsvierkant, in de euclidische metriek.

Sierpiński-kromme van de eerste orde

van de orden 1 en 2

van de orden 1 tot 3