Riemann-Xi-functie

De Riemann-Xi-functie op het complexe vlak. De kleur van een punt $s$ codeert de waarde van $\xi (s)$; Des te donker de kleur, des te dichter de waarde bij nul zit.

In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-Xi-functie een variant op de Riemann-zèta-functie, vernoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann.

Definitie

Riemann's oorspronkelijke xi-functie (met een kleine letter ξ) is door Edmund Landau hernoemd naar Xi-functie met een grote letter Ξ. Landau's versie met een kleine letter Xi (ξ) wordt als volgt gedefinieerd:

$\xi (s)=\frac{1}{2}s(s-1){\pi }^{-s/2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}s\right)\zeta (s)$

waarbij $s\in ℂ$. De $\zeta (s)$ staat voor de Riemann-zèta-functie en de $\mathrm{\Gamma }\left(s\right)$ staat voor de gammafunctie.

De Xi-functie (Ξ) van Landau wordt als volgt gedefinieerd:

$\mathrm{\Xi }(z)=\xi (\frac{1}{2}+zi)$

waarbij

$\mathrm{\Xi }(-z)=\mathrm{\Xi }(z).$

Waarden

De algemene vorm van de xi-functie voor hele getallen gaat als volgt:

$\xi (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{n!}{(2n)!}{B}_{2n}{2}^{2n-1}{\pi }^n(2n-1)$

waarin B_n staat voor het n-ste bernoulligetal. Bijvoorbeeld

$\xi (2)=\frac{\pi }{6}$

Reeksontwikkeling

De functie heeft de reeksontwikkeling

$\frac{d}{dz}\ln \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{n+1}{z}^n,$

waarbij

${\lambda }_n=\frac{1}{(n-1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}[s^{n-1}\log \xi (s)]|}_{s=1}=\sum _{\rho }[1-{(1-\frac{1}{\rho })}^n],$