Riemann-Siegel-thèta-functie

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt de Riemann–Siegel-thèta-functie in termen van de gammafunctie gedefinieerd als

$\theta (t)=\arg \left(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2it+1}{4}\right)\right)-\frac{\log \pi }{2}t$

voor reële waarden van t. Hier wordt het argument zodanig gekozen dat een continue functie wordt verkregen en dat $\theta (0)=0$ houdt, dat wil zeggen op dezelfde wijze als de principale tak van de log gammafunctie wordt gedefinieerd.

De Riemann-Siegel-thèta-functie heeft een asymptotische expansie

$\theta (t)\sim \frac{t}{2}\log \frac{t}{2\pi }-\frac{t}{2}-\frac{\pi }{8}+\frac{1}{48t}+\frac{7}{5760t^3}+\cdots$

die niet convergent, maar waarvan de eerste paar termen een goede benadering geven voor $t\gg 1$.

Haar Taylor-reeks die op 0 convergeert voor $|t|<1/2$ is

$\theta (t)=-\frac{t}{2}\log \pi +\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\psi }^{(2k)}\left(\frac{1}{4}\right)}{(2k+1)!}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2k+1}$

waar ${\psi }^{(2k)}$ de polygammafunctie van orde $2k$ voorstelt.

De Riemann-Siegel-thèta-functie is van belang bij het bestuderen van de Riemann-zèta-functie, omdat deze thèta-functie de Riemann-zèta-functie zodanig kan roteren dat het de geheel reëel-gewaardeerde Z-functie op de kritieke lijn $s=1/2+it$ wordt.